5-kvadrato

En matematiko, 5-kvadrato estas plurkvadrato de ordo 5, kio estas plurlatero en la ebeno el 5 egale ampleksaj kvadratoj koneksaj je latero al latero. Se turnadoj kaj reflektoj estas ne konsiderataj kiel generantaj malsamajn formojn, estas 12 malsamaj liberaj 5-kvadratoj. Se reflektoj estas konsiderataj kiel malsamaj, estas 18 unuflankaj 5-kvadratoj. Se ankaŭ turnoj estas konsiderataj kiel malsamaj, estas 63 fiksitaj 5-kvadratoj.

La 12 malsamaj liberaj 5-kvadratoj estas ofte nomataj per literoj de la latina alfabeto al kiuj ili estas proksimume similaj.

La F, L, N, P, Y, Z 5-kvadratoj estas nememspegulsimetria en du dimensioj; aldono de iliaj reflektoj F', J, N', Q, Y', S donas la 18 unuflankajn 5-kvadratojn. La ceteraj I, T, U, V, W, X, estas ekvivalentaj al iuj turnadoj de siaj spegulaj bildoj.

Ĉiu el la 12 5-kvadratoj povas kaheli ebenon. Aldone, ĉiu nememspegulsimetria 5-kvadrato povas kaheli ebenon sen uzo de ĝia reflekto.

John Horton Conway proponis la alian varianton de simboloj por 5-kvadratoj. Li uzas O anstataŭ I, Q anstataŭ L, R anstataŭ F, kaj S anstataŭ N. La simileco al la literoj estas pli malgranda (plej rimarkinde por la "O" kun rekta streko), sed ĉi tiu varianto havas la avantaĝon ke ĝi uzas 12 najbaran literoj de latina alfabeto. Ĉi tiu projekto estas uzata kun ludo de vivo de Conway.

Simetrio[redakti | redakti fonton]

Konsiderante reflektojn kaj turnadojn je obloj de 90 gradoj, estas jenaj simetriaj kategorioj:

L, N, P, F kaj Y povas esti orientitaj en 8 manieroj: 4 per turnado, kaj 4 pliaj por la spegula bildo. Ilia geometria simetria grupo konsistas nur el la idento-bildigo.
T, kaj U povas esti orientitaj en 4 manieroj per turnado. Ili havas akson de reflekta simetrio laŭ la kradolinioj. Ilia geometria simetria grupo havas du erojn, la identon kaj la reflekton en linia paralelo al la flankoj de la kvadratoj.
V kaj W ankaŭ povas esti orientitaj en 4 manieroj per turnado. Ili havas akson de reflekta simetrio je 45° al la kradolinioj. Ilia geometria simetria grupo havas du erojn, la identon kaj diagonalan reflekton.
Z povas esti orientita en 4 manieroj: 2 per turnado, kaj 2 pliaj por la spegula bildo. Ĝi havas punktan simetrion, ankaŭ konatan kiel turna simetrio de ordo 2. Ĝia geometria simetria grupo havas du erojn, la identon kaj la 180° turnadon.
I povas esti orientita en 2 manieroj per turnado. Ĝi havas du aksojn de reflekta simetrio, ambaŭ laŭ la kradolinioj. Ĝia geometria simetria grupo havas kvar erojn, la identon, du reflektojn kaj la 180° turnadon. Ĝi estas la duedra grupo de ordo 2, ankaŭ nomata kiel la kvar-grupo de Klein.
X povas esti orientita en nur unu maniero. Ĝi havas kvar aksojn de reflekta simetrio, laŭ la kradolinioj kaj la diagonaloj, kaj turnan simetrion de ordo 4. Ĝia geometria simetria grupo, la duedra grupo de ordo 4, havas ok erojn.

Se reflektoj de 5-kvadrato estas konsiderita malsamaj, kiel ili estas kun unuflanka 5-kvadratoj, do la unua kaj kvara kategorioj pli supre duoobliĝas en amplekso, rezultanta en superfluaj 6 5-kvadratoj por tuteco de 18.

Se ankaŭ turnadoj estas konsiderataj kiel malsamaj, tiam la 5-kvadratoj de la unua kategorio kalkulatas 8-oble, la aĵoj de la sekvaj tri kategorioj (T, U, V, W, Z) kalkulatas 4-oble, I kalkulatas 2-ible, kaj X kalkulatas unufoje. Ĉi tio rezultas je 5×8 + 5×4 + 2 + 1 = 63 fiksitaj 5-kvadratoj.


La ok eblaj orientiĝoj de la L, F, N, Y 5-kvadratoj

Por 2D figuroj ĝenerale estas du ceteraj kategorioj:

Estas orientebla en 2 manieroj per turnado de 90°, kun du aksoj de reflekta simetrio, ambaŭ laŭliniigis kun la diagonaloj. Ĉi tiu speco de simetrio postulas minimume 7-kvadraton.
Estas orientebla en 2 manieroj, kiuj estas spegulaj bildoj unu la alia. Ĉi tiu speco de simetrio postulas minimume 8-kvadraton.

Kahelado de ortanguloj[redakti | redakti fonton]

Norma 5-kvadrata enigmo estas al kaheli ortangulan skatolon kun la 5-kvadratoj, kio estas kovri ĝi sen interkovroj kaj sen breĉoj. Ĉiu el la 12 5-kvadratoj havas areon de 5 unuoblaj kvadratoj, tiel la skatolo devas havi areon de 60 unuoj. Eblaj ampleksoj estas 6×10, 5×12, 4×15 kaj 3×20. Pli defianta tasko estas kalkuli la tutecan kvanton de solvaĵoj en ĉiu okazo.

La 6×10 skatolo havas 2339 solvaĵojn, ĉi tiu problemo estis unua solvita en 1960 de C. Brian Haselgrove kaj Jenifer Haselgrove. La 5×12 skatolo havas 1010 solvaĵojn, la 4×15 skatolo havas 368 solvaĵojn, kaj la 3×20 skatolo havas 2 solvaĵojn. La kvantoj estas donitaj malinkluzivante bagatelajn variadojn ricevatajn per turnado kaj reflekto de la tuta ortangulo, sed inkluzivante turnadojn kaj reflektojn de la subaroj de 5-kvadratoj (iam ĉi tio estas eblas kaj provizas en simpla maniero aldonan solvaĵon; ekzemple, kun la 3×20 solvaĵo montrita, la alia unu estas ricevata per turno de aro de sep 5-kvadratoj, aŭ alimaniere per turno de la kvar plej maldekstraj aĵoj dekstren kaj la plej dekstra aĵo maldekstren).

Iu pli simpla (pli simetria) enigmo, la 8×8 ortangulo kun 2×2 truo en la centro, estis solvita de Dana S. Scott en 1958. Estas 65 solvaĵoj. Algoritmo de Scott estis unu el la unuaj aplikoj de malavanca komputila programo. Variadoj de ĉi tiu enigmo permesas al la kvar truoj lokiĝi en ĉiuj pozicioj. Plejparto el ĉi tiaj ŝablonoj estas solveblaj, kun la esceptoj de meto de ĉiu paro de truoj proksime al du anguloj tiel ke ambaŭ anguloj povas nur esti adaptita per P-5-kvadrato, meto de T-5-kvadrato aŭ U-5-kvadrato en angulon kreas la alian truon.

Kompetentaj algoritmoj estas priskribitaj por solvi ĉi tiajn problemojn, ekzemple de Donald Knuth. Rula tempo sur moderna persona komputilo por ĉi tiuj 5-kvadrataj enigmoj estas proksimume kelkaj sekundoj.

Enspacado de skatoloj[redakti | redakti fonton]

5-kubo estas plurkubo el 5 kuboj. 12 el la 29 5-kuboj respektivas al la 12 5-kvadratoj elpuŝitaj al profundo de longo de latero de unu kvadrato.

La 5-kuba enigmo aŭ 3D 5-kvadrata enigmo estas pri enspacado de 3-dimensia skatolo kun ĉi tiuj 1-tavolaj 5-kuboj, kio estas kovro de ĝi sen interkovroj kaj sen breĉoj. Ĉiu el la 12 5-kuboj konsistas el 5 unuoblaj kuboj. Tiel la skatolo devas havi volumenon de 60 unuoj. La eblaj ampleksoj estas 2×3×10, 2×5×6 kaj 3×4×5.


Solvaĵoj de la 3D 5-kvadrata enigmo

Alternative oni povas ankaŭ konsideri kombinaĵoj el 5 kuboj kiu estas mem 3D, kio estas, ne konsistas el unu tavolo de kuboj. Tiel, aldone al la 12 elpuŝitaj 5-kvadratoj, estas 6 nememspegulsimetriaj paroj da pecoj kaj 5 memspegulsimetriaj pecoj, kio estas tutece 29 pecoj. Ili kune konsistas el 145 kuboj, kio ne konsistigas 3D skatolon.

Tabulludoj[redakti | redakti fonton]

Estas tabulludoj bazitaj plene sur 5-kvadratoj.

Unu el la ludoj estas ludata sur 8×8 krada tabulo per du aŭ tri ludantoj. Ludanto prenita turnon metas 5-kvadraton sur la tabulon tiel ke ĝi ne interkovras la antaŭe metitajn 5-kvadratojn. La celo estas al esti la lasta ludanto kiu metis 5-kvadraton sur la tabulon.

La du-ludanta versio estas malforte solvita; ĝi estas venko de la unua ludanto.

5-kvadratoj, kaj similaj formoj, estas ankaŭ la bazo de aro de aliaj kahelaraj ludoj, ŝablonoj kaj enigmoj. Ekzemple, franca tabulludo nomata kiel Blokus estas ludata kun 4 oponantaj koloraj aroj de plurkvadratoj. En Blokus, ĉiu koloro komencas kun ĉiu 5-kvadrato (12 pecoj), kaj ankaŭ ĉiu 4-kvadrato (5 pecoj), ĉiu 3-kvadrato (2 pecoj), domeno (1 peco), unukvadrato (1 peco). Simile al la ludo de 5-kvadratoj, la celo estas uzi ĉiujn siajn kahelojn, kaj krompago estas donita se la unukvadrato estas ludata sur la tre lasta movo. La ludanto kun la malplej multaj restantaj blokoj venkas.