Perfekta nombro

En matematiko, aŭ pli precize en aritmetiko, perfekta nombro estas pozitiva entjera nombro n, strikte pli granda ol 1, kiu estas sumo de ties dividigoj, krom la nombro mem.

Ekzemploj

La unua perfekta nombro estas 6, ĉar 1, 2, kaj 3 estas dividigoj de 6, kaj 1 + 2 + 3 = 6. La sekvanta perfekta nombro estas 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14). La unuaj kvar perfektaj nombroj estis jam konataj kaj studitaj de la antikvaj helenaj matematikistoj. Ekde tiam, la nombro de konataj perfektaj nombroj nur atingis 44. La 44-a perfekta nombro troviĝis je Septembro 2006. La unuaj 12 perfektaj nombroj estas:

6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
8 128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1 016 + 2 032 + 4 064
33 550 336
8 589 869 056
137 438 691 328
2 305 843 008 139 952 128
2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176
191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216
13 164 036 458 569 648 337 239 753 460 458 722 910 223 472 318 386 943 117 783 728 128
1 447 401 11 546 645 244 279 463 731 260 85 988 481 573 677 491 474 835 889 066 354 349 131 199 152 128

La tuta listo troviĝas ĉe la retejo de J. Pedersen.

La nuna pli granda konata perfekta nombro estas 2^32.582.656x(2^32.582.657 − 1), kaj ĝi havas 19.616.714 ciferojn.

Ecoj

La matematikisto Eŭklido, en la III-a jarcento a.K., malkovris kaj pruvis, ke se $M=2^{p}-1\,$ estas primo, tiam $M\cdot \left({\frac {M+1}{2}}\right)=2^{p-1}(2^{p}-1)$ estas perfekta.

Leonhard Euler, en la XVIII-a sekolo pruvis, ke ĉiu perfekta nombro, kiu estas para, sekvas la formulon de Euclide. Pro tio, serĉado de paraj perfektaj nombroj estas ligita al la serĉado de primoj de Mersenne (tio estas primoj laŭ la formo $2^{p}-1\,$ ). La distribua interreta komputa projekto GIMPS celas serĉi novajn primajn nombrojn de Mersenne.

Estas pruvita, ke ĉiu perfekta nombro finiĝas aŭ per 6 aŭ per 8. Oni longe supozis, ke perfektaj nombroj alternas kun lasta cifero 6 kaj 8, sed ne veras: ambaŭ la kvina perfekta nombro (33.550.336) kaj la sesa (8.589.869.056) finiĝas per 6.

Paraj perfektaj nombroj

La unuaj 39 paraj perfektaj nombroj estas 2^n-1(2ⁿ-1) por

n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917

La aliaj 5 sciataj estas por n = 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657. Ne estas sciate ĉu estas aliaj inter ili.

Ankaŭ, estas malcerte ĉu estas malfinie multaj primoj de Mersenne kaj perfektaj nombroj. La serĉo por novaj primoj de Mersenne estas la celo de la distribuita komputanta projekto GIMPS.

Pro tio ke ĉiu para perfekta nombro havas formon 2^n-1(2ⁿ-1), ĝi estas triangula nombro, kaj, simile al ĉiuj triangulaj nombroj, ĝi estas sumo de ĉiuj naturaj nombroj supren al certa punkto; en ĉi tiu okazo 2ⁿ-1. Plue, ĉiu para perfekta nombro escepte de la unua estas sumo de la unuaj 2^(n-1)/2 neparaj kuboj:

6=2^{1}(2^{2}-1)=1+2+3,\,

28=2^{2}(2^{3}-1)=1+2+3+4+5+6+7=1^{3}+3^{3},\,

496=2^{4}(2^{5}-1)=1+2+3+\cdots +29+30+31=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3},\,

8128=2^{6}(2^{7}-1)=1+2+3+\cdots +125+126+127=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}.\,

Para perfekta nombro (escepte de 6) donas reston 1 kiam estas dividita per 9. Ĉi tiu povas esti reskribita kiel sekvas. Se adicii ciferojn de ĉiu para perfekta nombro (escepte 6), tiam adicii la ciferojn de la rezultanta nombro, kaj ripeti ĉi tiun procezo ĝis kiam la sola cifero estas ricevita, la rezulta ripetita cifereca sumo estos 1. Ekzemple la ripetita cifereca sumo de 8128 estas 1, pro tio ke 8 + 1 + 2 + 8 = 19, 1 + 9 = 10, kaj 1 + 0 = 1.

Neparaj perfektaj nombroj

Estas nekonate ĉu ekzistas iuj neparaj perfektaj nombroj. Diversaj rezultoj estas ricevitaj, sed neniu helpas trovi ĝin aŭ alie malkomponi la demandon de ilia ekzisto. Carl Pomerance prezentis heŭristikan argumento kiu sugestas ke neparaj perfektaj nombroj ne ekzistas.^[1] Ankaŭ, estas konjekto ke ne ekzistas neparaj harmonaj nombroj. Se estas vera, ĉi tio devus enhavi ke ne ekzistas neparaj perfektaj nombroj.

Ĉiu nepara perfekta nombro N devas kontentigi jenajn kondiĉojn:

N > 10³⁰⁰. Serĉo estas por pruvi ke N > 10⁵⁰⁰. ^[2]
N estas de formo

N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\ldots p_{k}^{2e_{k}},

kie:

q, p₁, …, p_k estas diversaj primoj (Eŭlero).
q ≡ α ≡ 1 (mod 4) (Eŭlero).
La plej malgranda prima faktoro de N estas malpli granda ol (2k+8)/3 (Grün 1952).
La rilato $e_{1}$ ≡ $e_{2}$ ...≡ $e_{k}$ ≡ 1 (mod 3) estas ne kontentigita (McDaniel 1970).
q^α > 10²⁰, aŭ $p_{j}^{2e_{j}}$ > 10²⁰ por iu j (Cohen 1987).
$N<2^{4^{k+1}}$ (Nielsen 2003).

La plej granda prima faktoro de N estas pli granda ol 10⁸ (Takeshi Goto kaj Yasuo Ohno, 2006).
La dua plej granda prima faktoro estas pli granda ol 10⁴, kaj la tria plej granda prima faktoro estas pli granda ol 100 (Iannucci 1999, 2000).
N havas almenaŭ 75 primajn faktorojn; kaj almenaŭ 9 diversajn primaj faktoroj. Se 3 ne estas unu el la faktoroj de N, tiam N havas almenaŭ 12 diversajn primajn faktorojn (Nielsen 2006; Kevin Hare 2005).
Se $e_{i}$ $e_{i}$ ≤ 2 por ĉiu i
- La plej malgranda prima faktoro de N estas almenaŭ 739 (Cohen 1987).
- α ≡ 1 (mod 12) aŭ α ≡ 9 (mod 12) (McDaniel 1970).

Konjektoj

«Ne ekzistas nepara perfekta nombro» estas konjekto. Oni ne scias, ĉu estas neparaj nombroj. Tamen, oni ne malesperas malkovri iam neparan perfektan nombron.

Oni ne scias, ĉu ekzistas malfinia kvanto de perfektaj nombroj.

Malgrandaj rezultoj

Nepara perfekta nombro ne estas dividebla per 105 (Kühnel 1949).
Ĉiu nepara perfekta nombro estas de formo 12m+1 aŭ 36m+9 (Touchard 1953; Holdener 2002).
La nura para perfekta nombro de formo $x^{3}+1$ estas 28 (Makowski 1962).
Nombro de Fermat ne povas esti perfekta nombro (Luca 2000).
La inversoj de la faktoroj de perfekta nombro N havas sumon 2:
- Por 6, $1/6+1/3+1/2+1/1=2$ ;
- Por 28, $1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1=2$ , kaj tiel plu
La kvanto de divizoroj de perfekta nombro (para aŭ nepara) devas esti para, pro tio ke N ne povas esti perfekta kvadrato.
- De ĉi tiuj du rezultoj sekvas ke ĉiu perfekta nombro estas harmona nombro.

Rilatantaj konceptoj

Paro de nombroj, ĉe kiuj sumo de propraj divizoroj de unu el ili egalas al la alia estas amikeblaj nombroj, kaj pli granda cikloj de nombroj estas societemaj nombroj.

Laŭ la difino, perfekta nombro estas fiksa punkto de la limigita dividanta funkcio s(n) =σ(n)−n, kaj la obla vico asociita kun perfekta nombro estas konstanta vico.

Referencoj

Eksteraj ligiloj

greke Perfektaj, amikeblaj kaj societemaj nombroj de Davido Moews greke Perfektaj nombroj - historio kaj teorio greke Eric W. Weisstein, Perfekta nombro en MathWorld. greke A000043 en OEIS: Listo de n tiaj ke 2^n-1(2ⁿ-1) estas perfektaj greke A000396 en OEIS: Listo de perfektaj nombroj greke OddPerfect.org Projekto pro distribuita komputado por serĉi por neparaj perfektaj nombroj.

[1] Oddperfect.org

[2] Oddperfect.org

[1]

[2]