Perfekta potenco

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En matematiko, perfekta potenco estas entjero kiu povas esti esprimita kiel povo de iu pozitiva entjero. n estas perfekta povo se ekzistas entjeroj m>1 kaj k>1 tiaj mk=n. En ĉi tiu okazo, n povas nomiĝi kiel perfekta k-a povo. Se k=2k=3, tiam n estas perfekta kvadratoperfekta kubo, respektive.

Noto ke perfekta potenco ne estas la samo kiel aŭ subspeco de perfekta nombro.

Vico de perfekta potencoj povas esti generita per ripetado tra eblaj valoroj por m kaj k. La unuaj kelkaj perfektaj potencoj estas:

22 = 4, 23 = 8, 32 = 9, 24 = 42 = 16, 52 = 25, 33 = 27, 25 = 32, 62 = 36, 72 = 49, 26 = 43 = 82 = 64, ... .

Laŭ Eŭlero, Goldbach montris (en nun perdita letero) ke sumo de 1/(p-1) super aro de perfekta potencoj p, malinkluzivante na 1 sed inkluzivante ripetadojn, konverĝas al 1:

\sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{m^k}=1
\sum_{p}\frac{1}{p-1}= {\frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}+ \frac{1}{15}+ \frac{1}{15} + \frac{1}{24} + \frac{1}{26}+ \frac{1}{31}}+ \cdots = 1

Ĉi tio estas iam sciata kiel la teoremo de Goldbach-Eŭlero.

Serĉo de perfektaj potencoj[redakti | redakti fonton]

Kontroli ĉu donita natura nombro n estas perfekta potenco povas esti farita per multaj malsamaj manieroj, kun diversaj niveloj de komplikeco. Unu el la plej simplaj tiaj manieroj estas konsideri ĉiujn eblajn valorojn por k, supren ĝis k \leq \log_2 n..

Ĉi tiu maniero povas esti simpligita per anstataŭa konsiderado de nur primaj valoroj de k. Ĉi tio estas ĉar se n=mk kaj k=ap kie p estas primo kaj a povas esti komponigita, tiam n=mk=map=(ma)p. Pro ĉi tiu rezulto, la minimuma valoro de k devas esti nepre primo.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Referencoj[redakti | redakti fonton]

"{{{titolo}}}", gazeto : {{{gazeto}}} Daniel J. BernsteinDaniel J. Bernstein (1998). "Detecting perfect powers in essentially linear time - Detektado de perfektaj potencoj en esence lineara tempo". Mathematics of Computation - Matematiko de kalkulado 67 (223): 1253–1283

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]