Polinomo de Legendre

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

Polinomo de Legendre estas unu el polinomoj, kiuj estas difinataj per formulo (Rodriguesa formo, reference al franca matematikisto Olinde Rodrigues) :

P _n = \frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n\quad (n=0,1,\ldots)

aŭ en publika formo:

P _n(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{i=0}^{[\frac{n}{2}]}(-1)^i{n \choose i}{2n-2i \choose n}x^{n-2i}.

Ekvacio de Legendre[redakti | redakti fonton]

La ekvacio de Legendre estas la sekvanta: \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}[(1-x^{2})\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}]+n(n+1)y=0

Polinomo de Legendre de grado n estas P_n (pri ĉiu entjera nombro n), kiu estas solvo de la antaŭa ekvacio :

\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}[(1-x^{2})\frac{\textrm{d}P_n(x)}{\textrm{d}x}]+n(n+1)P_n(x)=0,\qquad P_n(1)=1.

Oni povas konsideri P_n=P_n^{(0,0)}, kiam P_n^{(\alpha,\beta)} indikas polinomon de Jacobi kun indico n ligita al parametroj α kaj β.

La ĉisupra ekvacio estas ligita al laplaca ekvacio  \Delta \psi \ = \ 0, kiam oni serĉas ties solvoj kaj kiam ĝi estas skribita en sferaj koordinatoj; ekzemple pri elektrostatika problemo, kie la ŝarga denseco estas nula aŭ en vakuo.

Genera funkcio[redakti | redakti fonton]

Polinomoj de Legendre estas koeficientojn en serio de Maclaurin de funkcio 
G(x,t) = (1 - 2xt + t^{2})^{-1/2}
,

do estas formulo:


G(x,t) = (1 - 2xt + t^{2})^{-1/2} = \sum _{l=0} ^{\infty} P _{l}(x) t^{l}

Atributoj de polinomoj[redakti | redakti fonton]

Ekzemploj de polinomoj[redakti | redakti fonton]

n P_n(x)\,
0 1\,
1 x\,
2 \begin{matrix}\frac12\end{matrix} (3x^2-1) \,
3 \begin{matrix}\frac12\end{matrix} (5x^3-3x) \,
4 \begin{matrix}\frac18\end{matrix} (35x^4-30x^2+3)\,
5 \begin{matrix}\frac18\end{matrix} (63x^5-70x^3+15x)\,
6 \begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (231x^6-315x^4+105x^2-5)\,
7 \begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (429x^7-693x^5+315x^3-35x)\,
8 \begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)\,
9 \begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)\,
10 \begin{matrix}\frac1{256}\end{matrix} (46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)\,

Skemoj[redakti | redakti fonton]

Legendre polynomials.png

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]