Poluso (kompleksa analitiko)

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En kompleksa analitiko, poluso de holomorfa funkcio estas certa speco de simpla specialaĵo, kiu kondutas kiel la specialaĵo 1/zn je z = 0. Poluso de la funkcio f(z) estas punkto z = a tia, ke f(z) aliras malfinion kiel z aliras a.

La absoluta valoro de la Γ funkcio. Ĉi tiu montras, ke funkcio iĝas malfinio je la polusoj (maldekstre). Dekstre, la Γ funkcio ne havas polusojn, ĝi nur pligrandiĝas rapide.

Formale, supozu ke U estas malfermita subaro de la kompleksa ebeno C, a estas ero de U kaj f : U − {a} → C estas holomorfa funkcio. Se ekzistas holomorfa funkcio g : UC kaj natura nombro n tia, ke

 f(z) = \frac{g(z)}{(z-a)^n}

por ĉiuj z en U − {a}, tiam a estas nomita poluso de f. Se n estas elektita tiel malgranda kiel ebla, tiam n estas nomita la oblecoordo de la poluso. Poluso de ordo 1 estas nomata kiel simpla poluso.

Ekvivalente, a estas poluso de ordo n≥ 0 por funkcio f se ekzistas malfermita najbaraĵo U de a tia, ke f : U - {a} → C estas holomorfa kaj la limigo

\lim_{z\to a} (z-a)^n f(z)

ekzistas kaj estas malsama de 0.

La punkto a estas poluso de ordo n de f se kaj nur se ĉiuj termo de elvolvaĵo de f kiel la serio de Laurent ĉirkaŭ a pli sube grado de -n estas nuloj kaj la termo de grado -n estas ne nulo.

Poluso de ordo 0 estas forprenebla specialaĵo. En ĉi tiu okazo la limigo limza f(z) ekzistas kiel kompleksa nombro. Se la ordo estas pli granda ol 0, tiam limza f(z) = ∞.

Se la unua derivaĵo de funkcio f havas simplan poluson je a, tiam a estas branĉa punkto de f. (la malo ne nepre estas vera).

Ne-forprenebla specialaĵo kiu estas ne poluso aŭ branĉa punkto estas esenca specialaĵo.

Holomorfa funkcio ĉiuj kies specialaĵoj estas polusoj estas meromorfa funkcio.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]