Q-eksponenta funkcio

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En kombina matematiko, la q-eksponenta funkcio estas la q-analogo de eksponenta funkcio.

Difino[redakti | redakti fonton]

La q-eksponenta funkcio e_q(z) estas difinita kiel

e_q(z)=
\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{[n]_q!} =
\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n (1-q)^n}{(q;q)_n} =
\sum_{n=0}^\infty z^n\frac{(1-q)^n}{(1-q^n)(1-q^{n-1}) \cdots (1-q)}

kie [n]_q! estas la q-faktorialo kaj

(q;q)_n=(1-q^n)(1-q^{n-1})\cdots (1-q)

estas la q-serio. Tio ke ĉi tio estas la q-analogo de la eksponenta funkcio sekvas de propraĵo

\left(\frac{d}{dz}\right)_q e_q(z) = e_q(z)

kie la derivaĵo maldekstre estas q-derivaĵo. La pli supra egalaĵo estas facile kontrolebla per konsidero q-derivaĵo de la unutermo

\left(\frac{d}{dz}\right)_q z^n = z^{n-1} \frac{1-q^n}{1-q}
=[n]_q z^{n-1}.

Ĉi-tie, [n]_q estas la q-krampo.

Propraĵoj[redakti | redakti fonton]

Por reela q>1, la funkcio e_q(z) estas tuta funkcio de z. Por q<1, e_q(z) estas regula en disko |z|<1/(1-q).

Rilatoj[redakti | redakti fonton]

Por q<1, funkcio kiu estas proksime rilatanta estas

e_q(z) = E_q(z(1-q))

Ĉi tie, E_q(t) estas speciala okazo de baza supergeometria serio:

E_q(z) = \;_{1}\phi_0 (0;q,z) = \prod_{n=0}^\infty
\frac {1}{1-q^n z}