Q-eksponenta funkcio

En kombina matematiko, la q-eksponenta funkcio estas la q-analogo de eksponenta funkcio.

Difino

La q-eksponenta funkcio $e_q(z)$ estas difinita kiel

$e_q(z)= \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{[n]_q!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n (1-q)^n}{(q;q)_n} = \sum_{n=0}^\infty z^n\frac{(1-q)^n}{(1-q^n)(1-q^{n-1}) \cdots (1-q)}$

kie $[n]_q!$ estas la q-faktorialo kaj

$(q;q)_n=(1-q^n)(1-q^{n-1})\cdots (1-q)$

estas la q-serio. Tio ke ĉi tio estas la q-analogo de la eksponenta funkcio sekvas de propraĵo

$\left(\frac{d}{dz}\right)_q e_q(z) = e_q(z)$

kie la derivaĵo maldekstre estas q-derivaĵo. La pli supra egalaĵo estas facile kontrolebla per konsidero q-derivaĵo de la unutermo

$\left(\frac{d}{dz}\right)_q z^n = z^{n-1} \frac{1-q^n}{1-q} =[n]_q z^{n-1}.$

Ĉi-tie, $[n]_q$ estas la q-krampo.

Propraĵoj

Por reela $q>1$, la funkcio $e_q(z)$ estas tuta funkcio de z. Por $q<1$, $e_q(z)$ estas regula en disko $|z|<1/(1-q)$.

Rilatoj

Por $q<1$, funkcio kiu estas proksime rilatanta estas

$e_q(z) = E_q(z(1-q))$

Ĉi tie, $E_q(t)$ estas speciala okazo de baza supergeometria serio:

$E_q(z) = \;_{1}\phi_0 (0;q,z) = \prod_{n=0}^\infty \frac {1}{1-q^n z}$