Formuloj de Kramero

Formuloj de Kramero estas formuloj, kiuj donas rezulton de sistemo de n linearaj ekvacioj kun n variabloj.

$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n & = & b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n & = & b_2 \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \dots + a_{nn}x_n & = & b_n \\ \end{matrix}\right.$

Ĉefa matrico estas (signifu $A\,$ ):

$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix}$

Kaj $A_i\,$ signifas matrico, kiu havas ŝanĝata i-koluno en libera valoroj.

$A_1=\begin{bmatrix} b_{1} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1n} \\ b_{2} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n} \\ b_{3} & a_{32} & a_{33} & \dots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n} & a_{n2} & a_{n3} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix}$

$A_2=\begin{bmatrix} a_{11} & b_{1} & a_{13} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & b_{2} & a_{23} & \dots & a_{2n} \\ a_{31} & b_{3} & a_{33} & \dots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & b_{n} & a_{n3} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix}$

$\vdots$

$A_n=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1,n-1} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2,n-1} & b_{2} \\ a_{31} & a_{32} & \dots & a_{3,n-1} & b_{3} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{n,n-1} & b_{n} \end{bmatrix}$