Formuloj de Kramero

Formuloj de Kramero estas formuloj, kiuj donas rezulton de sistemo de n linearaj ekvacioj kun n variabloj. Ĝi portas la nomon de Gabriel Cramer.

$\left\{{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\dots +a_{nn}x_{n}&=&b_{n}\\\end{matrix}}\right.$

Ĉefa matrico estas (signifu $A\,$ ):

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{bmatrix}}$

Kaj $A_{i}\,$ signifas matrico, kiu havas ŝanĝata i-koluno en libera valoroj.

$A_{1}={\begin{bmatrix}b_{1}&a_{12}&a_{13}&\dots &a_{1n}\\b_{2}&a_{22}&a_{23}&\dots &a_{2n}\\b_{3}&a_{32}&a_{33}&\dots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n}&a_{n2}&a_{n3}&\dots &a_{nn}\end{bmatrix}}$

$A_{2}={\begin{bmatrix}a_{11}&b_{1}&a_{13}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&b_{2}&a_{23}&\dots &a_{2n}\\a_{31}&b_{3}&a_{33}&\dots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&b_{n}&a_{n3}&\dots &a_{nn}\end{bmatrix}}$

$\vdots$

$A_{n}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1,n-1}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2,n-1}&b_{2}\\a_{31}&a_{32}&\dots &a_{3,n-1}&b_{3}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{n,n-1}&b_{n}\end{bmatrix}}$

Tiam rezulto de sistemo estas:

$x_{1}={\frac {\det A_{1}}{\det A}},\;\;x_{2}={\frac {\det A_{2}}{\det A}},\;\;\ldots ,\;\;x_{n}={\frac {\det A_{n}}{\det A}}.$

Ecoj

• Se determinanto de matrico $A\,$ estas alia ol zero $\quad \det(A)\neq 0,$ tiam sistemo havas nur unu rezulton.