Rimana integralo

Rimana integralo, aŭ integralo de Riemann estas eble la plej uzata integralo en matematiko. Ĝi sufiĉas por kontinuaj funkcioj, kaj funkcioj kun ne tro da punktoj de nekontinueco. Se oni bezonas pli fortan integralon, oni uzas Lebegan integralon. La integralo estis difinita de Bernhard Riemann.

Difino

En la plej simpla versio, rimana integralo estas difina integralo de funkcio $f$ sur intervalo $[a,b]$. Unue oni difinas sumon de Riemann. Poste oni dividas la intervalon, kreinte malgrandajn intervalojn, $x_{0}=a<x_{1}<x_{2}<x_{3}<\cdots <x_{n}=b$. La $j$-a intervalo $[x_{j-1},x_{j}]$, havas longon $\Delta x_{j}=(x_{j}-x_{j-1})$. Poste oni ankaŭ elektas punkton $x_{j}^{*}$ en ĉiu intervalo. La sumo de Riemann estas

$$\sum _{j=1}^{n}f(x_{j}^{*})\Delta x_{j}.$$

Tiam la rimana integralo estas difinita kiel

$${\int _{a}^{b}}{f(x)}dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=1}^{n}{f(x_{j}^{*})}\Delta x_{j}.$$

La limeso uzata ne estas la normala limeso, ĉar oni ne havas vicon de valoroj. Pli precize oni diras ke $f$ estas integralebla (en la senco de Riemann) sur $[a,b]$, kaj la integralo estas la nombro $I$, se la sekvonto veras. Por ĉiu $\epsilon >0$ ekzistas $\delta >0$, kaj por tiu $\delta$ ĉiu divido kun $\Delta x_{j}<\delta$ for ĉiu $j$ implicas

$$\left|I-\sum _{j=1}^{n}f(x_{j}^{*})\Delta x_{j}\right|<\epsilon .$$

Tiu difino eble ne estas tiel simpla, sed por kontinuaj funkcioj, oni povas uzi pli simplan difinon. Dividi la intervalon egale. Tio signifas ke la longeco de ĉiu intervaleto estas la sama: $\Delta x={\frac {b-a}{n}}$. Ankaŭ $x_{j}={\frac {j(b-a)}{n}}+a$. Oni ankaŭ povas elekti $x_{j}^{*}$ la nombron $x_{j}$, $x_{j-1}$, aŭ eble ${\frac {x_{j}+x_{j-1}}{2}}$. Eble se oni uzus la dekstran flankon de ĉiu intervaleto, tiam

$$\int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=1}^{n}f\left({\frac {j(b-a)}{n}}+a\right){\frac {b-a}{n}}.$$

Neintegraleblaj funkcioj

Ne ĉiu funkcio estas integralebla en la senco de Riemann. Ekzemple, prenu la funkcion $f$ sur $[0,1]$ kie $f(x)=0$ se $x$ estas neracionala nombro, kaj $f(x)=1$ se $x$ estas racionala nombro. Ĉi tiu funcio oni ne povas integrali per la rimana integralo, sed se oni uzas lebegan integralon, la integralo estas 0.

Rimana integralo en $n$-dimensia spaco

La integralo ankaŭ povas esti difinita por $n$-dimensia spaco. La difino estas preskaŭ la sama, sed oni devas uzi $n$-dimensiajn rektangulojn anstataŭ intervaletojn.

Vidu ankaŭ

• Integralo
• Lebega integralo