Ringa teorio

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En matematiko, ringa teorio estas la studo pri ringoj, algebraj strukturoj en kiuj adicio kaj multipliko estas difinitaj kaj havas similajn propraĵojn al tiuj familiaraj de la entjeroj.

Bonvolu konsulti la glosaron de ringa teorio por la difinoj de terminoj uzataj tra ringa teorio.

Historio[redakti | redakti fonton]

La studo de ringoj devenis de la teorio de polinomringoj kaj la teorio de algebraj entjeroj. Plue, la apero de hiperkompleksaj nombroj en la mezo de la 19-a jarcento subfosis la antaŭ-moŝtecon de kampoj en analitiko.

Richard Dedekind prezentis la koncepton de ringo.

La termino ringo (Zahlring) estis elpensita de David Hilbert en la artikolo Die Theorie der algebraischen Zahlkörper, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, volumo 4, 1897.

La unua aksioma difino de ringo estis donita per Adolf Fraenkel en eseo en Ĵurnalo für die reine und angewandte Mathematik (A. L. Crelle), volumo 145, 1914.

En 1921, Emmy Noether donis la unuan aksioman fundamenton de la teorio de komutaj ringoj en sia monumenta papero Ideala Teorio en Ringoj.

Cedanta enkondukon[redakti | redakti fonton]

Difino[redakti | redakti fonton]

Formale, ringo estas komuta grupo (R, +), kaj ankaŭ dua operacio (matematiko) * tia, ke por ĉiuj a, b kaj c en R,

a * (b*c) = (a*b) * c
a * (b+c) = (a*b) + (a*c)
(a+b) * c = (a*c) + (b*c)

kaj tia, ke ekzistas multiplika idento, aŭ unueco, tio estas, ero 1 tiel ke por ĉiuj a en R,

a*1 = 1*a = a

Estas simple montri, ke iu ajn ringo en kiu 1 = 0 devas havi nur unu eron; iu ajn tia ringo estas nomita nula ringo.

Ringoj, kiuj sidi ene de aliaj ringoj estas nomitaj kiel subringoj. Mapoj inter ringoj kiuj respektas la ringajn operaciojn estas nomitaj ringaj homomorfioj. Ringoj kaj ankaŭ ringaj homomorfioj, formas kategorion. Proksime rilata estas la nocio de idealoj, certaj subaroj de ringoj kiuj ekesti kiel kernoj de homomorfioj kaj povas servi por difini faktorajn ringojn. Bazaj faktoj pri idealoj, homomorfioj, kaj faktoraj ringoj estas rekorditaj en la izomorfiaj teoremoj kaj en la Ĉinia resta teoremo.

Ringo estas nomata kiel komuta ringo se ĝia multipliko estas komuta. Komutaj ringoj similas familiarajn nombrosistemojn, kaj diversaj difinoj por komutaj ringoj estas dizajnitaj por reakiri propraĵojn sciatajn de la entjeroj. Komutaj ringoj estas ankaŭ gravaj en algebra geometrio. En komuta ringa teorio, nombroj estas ofte anstataŭigitaj per idealoj, kaj la difino de prima idealo penas enkapti la esencon de primoj. Integrecaj ringoj, ne-bagatelaj komutaj ringoj kie neniuj du ne-nulaj eroj inter si multiplikitaj donas nulon, ĝeneraligas la alian propraĵon de la entjeroj kaj servas kiel la pozitiva regno por studi divideblecon. Ĉefidealaj ringoj estas integrecaj ringoj en kiuj ĉiu idealo povas esti generita per sola ero, alia propraĵo komuna kun la entjeroj. Eŭklidaj ringoj estas integrecaj ringoj en kiuj la eŭklida algoritmo por plej granda komuna divizoro povas funkcii. Gravaj ekzemploj de komutaj ringoj povas esti konstruitaj kiel ringoj de polinomoj kaj iliaj faktoraj ringoj. Enkonduko: eŭklida ringo => ĉefideala ringo => faktoreca ringo => integreca ringo => komuta ringo.

Ne-komutaj ringoj similas ringojn de matricoj en multaj aspektoj. Sekve la modelo de algebra geometrio, provas esti farita nur je difinanta ne-komuta geometrio bazita sur ne-komutaj ringoj.

Ne-komutaj ringoj kaj asociecaj algebroj (ringoj, kiuj estas ankaŭ vektoraj spacoj) estas ofte studitaj per ilia kategorioj de moduloj. Modulo super ringo estas komuta grupo sur kiu la ringo agas kiel ringo de endomorfioj, treege simile al la manieroj kiel kampoj (integrecaj ringoj en kiuj ĉiu ne-nula ero estas inversigebla) agas sur vektoraj spacoj. Ekzemploj de ne-komutaj ringoj estas donitaj per ringoj de kvadrataj matricoj aŭ pli ĝenerale per ringoj de endomorfioj de komutaj grupoj aŭ moduloj, kaj per monoidaj ringoj.

Iuj utilaj teoremoj[redakti | redakti fonton]

Ĝeneraligoj[redakti | redakti fonton]

Iu ajn ringo povas vidiĝi kiel antaŭadicia kategorio kun unusola objekto. Estas pro tio nature konsideri ajnajn antaŭadiciajn kategoriojn kiel ĝeneraligoj de ringoj. Kaj ja, multaj difinoj kaj teoremoj originale donita por ringoj povas esti tradukitaj al tiu pli ĝenerala ĉirkaŭteksto. Alsumaj funktoroj inter antaŭadiciaj kategorioj ĝeneraligas la koncepton de ringa homomorfio, kaj idealoj en alsumaj kategorioj povas esti difinitaj kiel aroj de strukturkonservantaj transformoj fermitaj sub adicio kaj sub komponaĵo kun ajnaj strukturkonservantaj transformoj.

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]