Simbolo de Schläfli

En geometrio, la simbolo de Schläfli estas notacio por priskribi regulajn kaj ne nur hiperpluredrojn kaj kahelarojn.

La Simbolo de Schläfli estas nomita post la 19-a-jarcenta matematikisto Ludwig Schläfli kiu faris gravajn esplorojn en geometrio kaj aliaj areoj.

Vidu ankaŭ en listo de regulaj hiperpluredroj.

Regulaj plurlateroj (ebeno)

La simbolo de Schläfli de konveksa regula plurlatero kun n lateroj estas {n}.

Ekzemple, regula kvinlatero estas prezentita per {5}.

La simbolo de Schläfli de nekonveksa regula stelo (figuro) estas {n/m}, kie n estas kvanto de la lateroj, kaj m estas tia ke m-1 verticoj estas preterpasataj de ĉiu latero.

Ekzemple, {5/2} estas la stelokvinlatero.

Ĉi tie m < n/2, skribaĵo kun m > n/2 respektivas al stelo en kiu la verticoj estas trapasataj en la mala ordo. Skribaĵo n/(n-1) respektivas al konveksa plurlatero en kiu la verticoj estas trapasataj en la mala ordo.

Regulaj pluredroj (3-spaco)

La simbolo de Schläfli de regula pluredro estas {p,q} se ĝiaj edroj estas p-lateroj, kaj ĉiu vertico estas ĉirkaŭbarita per q edroj (la vertica figuro estas q-latero).

Ekzemple {5,3} estas la regula dekduedro. Ĝi havas kvinlaterajn edrojn, kaj 3 kvinlaterojn estas ĉirkaŭ ĉiu vertico.

Vidu la 5 konveksajn platonajn solidojn kaj la 4 nekonveksajn pluredrojn de Keplero-Poinsot.

Simboloj de Schläfli estas difinita ankaŭ por regulaj kahelaroj de eŭklida aŭ hiperbola enenoj en simila maniero.

Ekzemple, la seslatera kahelaro estas priskribata kiel {6,3}.

Regulaj plurĉeloj (4-spaco)

La simbolo de Schläfli de regula plurĉelo estas de la formo {p,q,r}. Ĝi havas regulaj plurlateraj edroj {p}, ĉelojn {p,q}, regulajn pluredrajn verticajn figurojn {q,r}, regulaj plurlaterajn laterajn figurojn {r}.

Vidu la 6 konveksajn regulajn plurĉelojn kaj 10 nekonveksajn regulajn plurĉelojn.

Ekzemple, la 120-ĉelo estas prezentita per {5,3,3}. Ĝi estas farita el dekduedraj ĉeloj {5,3}, kaj havas 3 ĉelojn ĉirkaŭ ĉiu latero.

Estas ankaŭ unu regula kahelaro de eŭklida 3-spaco: la kuba kahelaro, kun Simbolo de Schläfli de {4,3,4}, el kubaj ĉeloj, kun 4 kuboj ĉirkaŭ ĉiu latero.

Estas ankaŭ 4 regulaj hiperbolaj kahelaroj. Ekzemple {5,3,4}, la hiperbola malgranda dekduedra kahelaro enspacas la spacon per dekduedraj ĉeloj, kun 4 dekduedroj ĉirkaŭ ĉiu latero.

Pli altaj dimensioj

Por pli alte dimensiaj hiperpluredroj, la simbolo de Schläfli estas difinita rekursie kiel {p₁, p₂, ..., p_{n − 1}} se la facetoj havas simbolon de Schläfli {p₁,p₂, ..., p_{n − 2}} kaj la verticaj figuroj havas simbolon de Schläfli {p₂,p₃, ..., p_{n − 1}}.

Noto ke vertica figuro de faceto kaj faceto de vertica figuro estas la sama hiperpluredro kun simbolo de Schläfli {p₂,p₃, ..., p_{n − 2}}.

Estas nur 3 regulaj hiperpluredroj en 5 dimensioj kaj pli supre: la simplaĵo, {3,3,3,...,3}; la kruco-hiperpluredro, {3,3, ... ,3,4}; kaj la hiperkubo, {4,3,3,...,3}. Ne ekzistas nekonveksaj regulaj hiperpluredroj pli supre ol en 4 dimensioj.

Dualaj hiperpluredroj

Por dimensio 2 aŭ pli alta, ĉiu hiperpluredro havas la dualan hiperpluredron.

Se hiperpluredro havas simbolon de Schläfli {p₁,p₂, ..., p_n-1} tiam ĝia duala havas simbolon de Schläfli {p_n-1, ..., p₂,p₁}.

Se la vico estas la sama se rigardi ĝi antaŭen kaj malantaŭen, la hiperpluredro estas mem-duala. Ĉiu regula hiperpluredro en 2 dimensioj (plurlatero) estas mem-duala.

Prismoj

Prismaj hiperpluredroj povas esti difinita kaj nomataj kiel karteziaj produtoj de subaj dimensiaj hiperpluredroj:

• p-latera prismo kun vertica figuro p.4.4 kiel {}×{p}.
• Uniforma {p,q}-edra prismo kiel {}×{p,q}.
• Uniforma p-q duprismo kiel {p}×{q}.

Noto ke ĉi tio rilatas nur al neklinaj prismoj.

Prismo povas ankaŭ esti prezentita kiel la tranĉo de duvertica pluredro kiel $t{\begin{Bmatrix}2,p\end{Bmatrix}}$, kaj kontraŭprismo (riproĉa duvertica pluredro) kiel $s{\begin{Bmatrix}2\\p\end{Bmatrix}}$.

Etendita simbolo de Schläfli por uniformaj hiperpluredroj

Uniformaj hiperpluredroj, faritaj per konstruo de Wythoff, estas priskribataj per etendita tranĉa notacio de regula formoj {p,q,...}.

Estadas uzataj du variantoj de la etendita simbolo de Schläfli.

La dua, pli ĝenerala notacio estas aplikebla al ĉiuj dimensioj, kaj estas skribata kiel "t" sekvata per listo de indeksoj respektivaj al speguloj de la konstruo de Wythoff. La spegulaj ankaŭ respektivas al ringitaj verticoj en figuro de Coxeter-Dynkin. Ĉiu indekso prezentas unuon el la hiperebenoj de la reflektaj speguloj en la fundamenta domajno. Kvanto de la hiperebenoj n, kaj do maksimuma kvanto de indeksoj, egalas al la dimensio de hiperpluredro, aŭ al dimensio de la kahelarata spaco plus 1. La eblas valoroj de la indeksoj estas 0 ... n-1. Entuta kvanto de la variantoj, krom la regula, estas 2ⁿ-1. Riproĉaj formoj ne estas priskribataj per ĉi tiu maniero.

Ekzemple, la senpintigita sesedro povas esti prezentita per t_0,1{4,3} kaj ĝi povas vidiĝi kiel mezvojo inter la kubo, t₀{4,3}, kaj la kubokedro, t₁{4,3}.

Estas donita ankaŭ alternativa nomo de operacio, vera nur por ĉi tiu dimensio. Ekzemple Entutotranĉo estas rektigitotranĉo en 3 dimensioj sed edrolateroverticotranĉo en 4 dimensioj. Kaj rektigitotranĉo en 4 dimensioj estas io alia.

Uniformaj pluredroj kaj 2-kahelaroj

Ĉiu regula pluredro aŭ kahelaro {p,q} havas 7 formojn, inkluzivante la regulan formon kaj ĝin dualan, respektive al pozicioj en la fundamenta orta triangulo. La 8-a speciala formo, la riproĉa, estas alternado de la entutotranĉita formo. La unua varianto de la etendita simbolo de Schläfli havas notacion por ili ĉiuj.

Operacio	Operacio - alternativa nomo nur por ĉi tiu dimensio	Etenditaj simboloj de Schläfli		Figuro de Coxeter-Dynkin	Konstruo de Wythoff
Gepatro		{p,q}	t0{p,q}		q | 2 p
Rektigita	Kvazaŭregula	${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	t1{p,q}		2 | p q
Durektigita	Duala	{q,p}	t2{p,q}		p | 2 q
Senpintigita		t{p,q}	t0,1{p,q}		2 q | p
Dutranĉita	Senpintigita duala	t{q,p}	t1,2{p,q}		2 p | q
Laterotranĉita	Ekspansiita, elvolvita	$r{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	t0,2{p,q}		p q | 2
Rektigitotranĉita aŭ lateroverticotranĉita	Entutotranĉita	$t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	t0,1,2{p,q}		2 p q |
Riproĉa		$s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	s{p,q}		| 2 p q

Uniformaj plurĉeloj kaj 3-kahelaroj

Estas ĝis 15 malsamaj tranĉitaj formoj por plurĉeloj kaj kahelaroj bazitaj sur ĉiu regula formo{p,q,r}.

Vidu ankaŭ en uniforma plurĉelo kaj konveksa uniforma kahelaro de eŭklida 3-spaco.

Operacio	Operacio - alternativa nomo nur por ĉi tiu dimensio	Etenditaj simboloj de Schläfli		Figuro de Coxeter-Dynkin
Gepatro		{p,q,r}	t0{p,q,r}
Rektigita		${\begin{Bmatrix}p\\q,r\end{Bmatrix}}$	t1{p,q,r}
Durektigita	Rektigita duala	${\begin{Bmatrix}q,p\\r\end{Bmatrix}}$	t2{p,q,r}
Trirektigita	Duala	{r,q,p}	t3{p,q,r}
Senpintigita			t0,1{p,q,r}
Dutranĉita			t1,2{p,q,r}
Tritranĉita	Senpintigita duala		t2,3{p,q,r}
Laterotranĉita			t0,2{p,q,r}
Dulaterotranĉita	Laterotranĉita duala		t1,3{p,q,r}
Edrotranĉita	Ekspansiita, elvolvita		t0,3{p,q,r}
Rektigitotranĉita aŭ lateroverticotranĉita			t0,1,2{p,q,r}
Durektigitotranĉita	Rektigitotranĉita duala		t1,2,3{p,q,r}
Edroverticotranĉita			t0,1,3{p,q,r}
Edrolaterotranĉita	Edroverticotranĉita duala		t0,2,3{p,q,r}
Edrolateroverticotranĉita	Entutotranĉita		t0,1,2,3{p,q,r}

Formoj kun indekso "0" ĉe "t" estas diversaj tranĉitaj - "edro"-"latero"-"vertico"-"tranĉitaj".

• Se estas indekso "1" ĉe "t" ĝi estas "vertico"-"tranĉita"
• Se estas indekso "2" ĉe "t" ĝi estas "latero"-"tranĉita"
• Se estas indekso "3" ĉe "t" ĝi estas "edro"-"tranĉita"

Referencoj

Etendita simbolo de Schläfli estas uzita de Harold Scott MacDonald Coxeter

• The Beauty of Geometry: Twelve Essays - La Belo de Geometrio: Dek du eseoj (1999), Dover Publications ISBN 978-0-486-40919-1 (Ĉapitro 3: konstruado de Wythoff por uniformaj hiperpluredroj, p 41-53)
• Norman Johnson Uniformaj Hiperpluredroj, Manuskripto (1991)
• Norman Johnson La Teorio de Uniformaj Hiperpluredroj kaj Kahelaroj, Ph.D. Disertaĵo, Universitato de Toronto, 1966
• Coxeter, H.S.M.; Regulaj Hiperpluredroj, (Methuen kaj Co., 1948). (pp. 14, 69, 149)
• Coxeter, Longuet-Higgins, Miller, Uniformaj pluredroj, Phil. Trans. 1954, 246 A, 401-50. (etendita notacio de Schläfli difinita: tabelo 1, p 403)

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Simbolo de Schläfli en MathWorld.
• Simbolo de Wythoff kaj ĝeneraligita simbolo Schläfli Arkivigite je 2006-05-22 per la retarkivo Wayback Machine
• Pluredraj nomoj kaj notacio Arkivigite je 2006-12-16 per la retarkivo Wayback Machine