Serio de Laurent

Serio de Laurent estas difinita kun respekto al aparta punkto c kaj taŭga vojo de integralado γ. La vojo de integralado devas kuŝi en ringoformaĵo (montrita en ruĝa) en kiu f(z) estas holomorfa (analitika).

En matematiko, la serio de Laurent de kompleksa funkcio f(z) estas prezento de la funkcio kiel potencoserio kiu inkluzivas termojn ankaŭ de negativa grado. Ĝi povas esti uzata por esprimi kompleksan funkcion en okazoj en kiuj serio de Taylor ne povas esti uzata.

La serio de Laurent por kompleksa funkcio f(z) ĉirkaŭ punkto c

$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$

kie la a_n estas konstantoj difinitaj per kurba integralo kiu estas ĝeneraligo de koŝia integrala formulo:

$a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}}$

La vojo de integralado γ estas fermita ĉirkaŭa kontraŭhorloĝnadla rektifebla vojo sen sin-intersekcojn, enhavanta punkton c kaj kuŝanta en ringoformaĵo A en kiu f(z) estas holomorfa (analitika).

La elvolvaĵo por f(z) validas ĉie en ĉi tiu ringoformaĵo, simile al tio ke potencoserio de Taylor estas uzata por esprimi holomorfan funkcion difinitan sur disko.

En praktiko, ĉi tiu formulo estas malofte uzata ĉar la integraloj estas malfacilaj por kalkulado. Anstataŭe, oni tipe kreas la seriojn de Laurent per kombinado de sciata elvolvaĵoj de Taylor.

La nombroj a_n kaj c estas plej kutime prenita al esti kompleksaj nombroj, kvankam estas aliaj eblecoj, kiel priskribis pli sube.

Konverĝo de serio de Laurent

Estu

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$

donita serio de Laurent kun kompleksaj koeficientoj a_n kaj kompleksa centro c. Tiam ekzistas unikaj ena radiuso r kaj ekstera radiuso R tiaj ke:

• La serio de Laurent konverĝas sur la malfermita ringoformaĵo A = {z : r < |z - c| < R}. Tio ke la serio de Laurent konverĝas, signifas ke ambaŭ la pozitiva grada potencoserio kaj la negativa grada potencoserio konverĝas.
  • La konverĝo estas uniformo sur kompaktaj aroj.
  • La konverĝa serio difinas holomorfan funkcion f(z) sur la malfermita ringoformaĵo.
• Ekster la ringoformaĵo, la serio de Laurent malkonverĝas. Tio estas, je ĉiu punkto de la eksteraĵo de A, la pozitiva grada potencoserio aŭ la negativa grada potencoserio malkonverĝas.
• Sur la rando de la ringoformaĵo, oni ne povas fari ĝeneralan frazon, escepte de tio ke estas almenaŭ unu punkto sur la ena rando kaj unu punkto sur la ekstera rando tiaj ke f(z) ne povas esti holomorfe daŭrigita al ĉi tiuj punktoj.

Ebla ke r estas nulo aŭ R povas esti malfinio. Ankaŭ, en la alia okazo ne bezone r estas malpli granda ol R. Ĉi tiuj radiusoj povas esti kalkulitaj kiel:

$r=\limsup _{n\rightarrow \infty }|a_{-n}|^{1/n}$

${1 \over R}=\limsup _{n\rightarrow \infty }|a_{n}|^{1/n}$

Oni prenu ke R estas malfinio se ĉi tiu lasta limigo supera estas nulo.

Male, se starti kun ringoformaĵo de formo A = {z : r < |z - c| < R} kaj holomorfa funkcio f(z) difinita sur A, do tie nepre ekzistas unika serio de Laurent kun centro c kiu konverĝas almenaŭ sur A kaj prezentas la funkcion f(z).

La okazo de r=0, kio estas holomorfa funkcio f(z) kiu povas esti nedifinita je sola punkto c, estas aparte grava. La koeficiento a_-1 de la serio de Laurent de tia funkcio estas nomata kiel la restaĵo de f(z) je la specialaĵo c; ĝi ludas gravan rolon en la restaĵa teoremo.

Ekzemploj

Konsideru ekzemple funkcion f(x) = e^-1/x2 kun f(0) = 0. Kiel reela funkcio, ĝi estas ĉie malfinie multe diferencialebla; kiel kompleksa funkcio tamen ĝi estas ne diferencialebla je x=0. Per anstataŭo de x per -1/x² en la potencoserio por la eksponenta funkcio, oni ricevas serion de Laurent kiu konverĝas kaj estas egala al f(x) por ĉiuj kompleksaj nombroj x escepte de la specialaĵo x=0.

La grafikaĵo montras funkcion f(x) = e-1/x2 en nigra kaj ĝiajn proksimumadoj de Laurent $\sum _{n=0}^{N}(-1)^{n}\,{x^{-2n} \over n!}$ por N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 kaj 50. Se N → ∞, la proksimumado iĝas akuratan por ĉiu kompleksa nombro x escepti de la specialaĵo x=0.

---

Kiel ekzemplo, estu

$f(z)={1 \over (z-1)(z-2i)}$

Ĉi tiu funkcio havas specialaĵojn je z=1 kaj z=2i, kie la denominatoro de la esprimo estas nulo kaj la esprimo estas pro tio nedifinita. Serio de Taylor ĉirkaŭ z = 0 (kiu liveras potencoserion) nur konverĝas en disko de radiuso 1, pro tio ke je ĉi tiu radiusio ĝi renkontas la specialaĵo je 1.

Tamen, estas tri eblaj serioj de Laurent ĉirkaŭ z=0, dependanta de la elktita regiono en la z-ebeno.

• La unua estas difinita sur la disko kie |z|<1; ĝi estas la sama kiel la serio de Taylor,

$f(z)={\frac {1+2i}{5}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{(2i)^{k+1}}}-1\right)z^{k}$

La tekniko engaĝas uzadon de partaj frakcioj por fendi la originalan esprimon por f(z) en du pli simplajn frakciojn kaj tiam uzas tion ke 1/(1-z) estas formulo por sumo de geometria serio kun unua termo 1 kaj konstanta multiplikanto z.

• La dua serio estas difinita sur la ringoformaĵo kie 1 < |z| < 2, kaptita inter la du specialaĵoj,

$f(z)={\frac {1+2i}{5}}\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{z^{k}}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2i)^{k+1}}}z^{k}\right)$

• La tria serio estas difinita sur la malfinio ringoformaĵo kie 2 < |z| < ∞,

$f(z)={\frac {1+2i}{5}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1-(2i)^{k-1}}{z^{k}}}$

(La termoj pli supre povas esti ricevitaj per polinoma divido.)

---

Por ekzemplo, konsideru

$f(z)={e^{z} \over z}+e^{1/z}$

Ĉi tiu funkcio estas holomorfa ĉie escepte de je z=0.

Por ricevi la elvolvaĵon de Laurent ĉirkaŭ c=0, oni uzu la serion de Taylor de la eksponenta funkcio:

$f(z)=\cdots +\left({1 \over 3!}\right)z^{-3}+\left({1 \over 2!}\right)z^{-2}+2z^{-1}+2+\left({1 \over 2!}\right)z+\left({1 \over 3!}\right)z^{2}+\left({1 \over 4!}\right)z^{3}+\cdots$

kaj do la restaĵo de f(z) estas 2.

---

Por ekzemplo trovu la serion de Laurent en potencoj de (z-i) de

${\frac {1}{z^{2}+1}}$

Unue

${\frac {1}{z^{2}+1}}={\frac {1}{(z-i)(z+i)}}$

kaj

${\frac {1}{z+i}}={\frac {1}{2i+(z-i)}}=-{\frac {i}{2}}{\frac {1}{1-{\frac {i}{2}}(z-i)}}$

La lasta frakcio povas esti elvolvita en geometria serio por z proksime al i:

${\frac {1}{1-{\frac {i}{2}}(z-i)}}=1+{\frac {i}{2}}(z-i)+\left({\frac {i}{2}}(z-i)\right)^{2}+\left({\frac {i}{2}}(z-i)\right)^{3}+\cdots$

Oni bezoni al multipliki la serio per la antaŭa frakcio, -i/2. Se fari ĉi tion kaj dividi ambaŭ flankoj per z-i rezultas

${\frac {1}{z^{2}+1}}=-\left({\frac {i}{2}}\right){\frac {1}{z-i}}-\left({\frac {i}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {i}{2}}\right)^{3}(z-i)-\left({\frac {i}{2}}\right)^{4}(z-i)^{2}-\cdots$

---

Konsideru trovadon de la serio de Laurent de la kvadrato de la funkcio pli supre

${\frac {1}{(z^{2}+1)^{2}}}$

Por ĉi tio, oni povas simple preni kvadraton de la serio pli supre. Noto ke por ĉiu grado de la rezulta serio, estas nur finie multaj termoj kiuj post multipliko donas la gradon. En la ekzemplo, termo de grado -2 de la rezulto estas la kvadrato de termo de grado -1 de la originala serio; kaj la termo de grado -1 estas dufoje la produto de termoj la gradoj -1 kaj 0 de la originala serio. La rezulto estas:

${\frac {-1}{4(z-i)^{2}}}-{\frac {i}{4(z-i)}}+{\frac {3}{16}}+\cdots$

Ĉefa parto

La ĉefa parto de serio de Laurent estas la serio de termoj kun negativa grado, tio estas

$\sum _{k=-\infty }^{-1}a_{k}(z-c)^{k}$

Se la ĉefa parto de f estas finia sumo, do f havas poluson je c de ordo egala al negativo de la grado de la plej alta termo; aliflanke, se f havas esencan specialaĵon je c, la ĉefa parto estas malfinia sumo (estas malfinie multaj nenulaj termoj).

Se la ena konverĝoradiuso de la serio de Laurent por f estas 0, tiam ĉi tiu estas se kaj nur se: f havas esencan specialaĵon je c se kaj nur se la ĉefa parto estas malfinia sumo, kaj havas poluson alie.

Se la ena konverĝoradiuso estas pozitiva, f povas havi malfinie multajn negativajn termojn sed ankoraŭ esti regula je c, kiel en la ekzemplo pli supre, en kiu okazo ĝi estas prezentita per malsama serio de Laurent en disko ĉirkaŭ c.

Serio de Laurent kun nur finie multaj negativaj termoj povas esti prezentita kiel iu potencoserio de Taylor dividita per z^k, kaj povas esti analizita simile. Serio de Laurent kun malfinie multaj negativaj termoj havas komplikan konduton en la ena rando de la areo de konverĝo.

Sumo kaj produto

Du serioj de Laurent ne povas ĝenerale esti multiplikita.

Algebre, la esprimo por la termoj de la produto povas engaĝi malfiniajn sumojn kiu ne nepre konverĝas.

Geometrie, la du serioj de Laurent povas havi ne interkovrantajn ringoformaĵoj de konverĝo.

Du serio de Laurent kun nur finie multaj negativaj termoj povas esti multiplikitaj: algebre, la sumoj estas ĉiuj finia; geometrie, ĉi tiuj havas polusojn je c, kaj enan konverĝoradiuson 0, tiel ili ambaŭ konverĝas sur interkovrantaj ringoformaĵo.

Simile, sumo de du konverĝaj serioj de Laurent ne nepre ie konverĝas, sed la sumo de du baritaj desube serioj de Laurent (aŭ ĉiuj serioj de Laurent sur enpikita disko) havas ne-malplenan ringoformaĵo de konverĝo.

Historio

La serio de Laurent estas nomita post Pierre Alphonse Laurent, kiu la unua publikigis pri ĝi en 1843.

Karl Weierstrass eble esploris ĝin la unua en 1841 sed ne publikigis pri ĝi sifiĉe frue.

Vidu ankaŭ

• Serio de Taylor
• Polinomo de Laurent estas serio de Laurent en kiu nur finie multaj koeficientoj estas nenulaj. Polinomoj de Laurent malsamas de ordinaraj polinomoj en tio ke ili povas havi termojn de negativa grado.
• Formala serio de Laurent estas serio de Laurent konsiderata formale, kun koeficientoj de ajna komuta ringo, sen estimo por konverĝo, kaj kun nur finie multaj termoj de negativa gradp, tiel ke multipliko estas ĉiam difinis.
• Z-konverto estas la speciala okazo kie la serio de Laurent estas prenita ĉirkaŭ nulo.
• Serio de Fourier — la anstataŭo $z=e^{\pi iw}$ konvertas serion de Laurent en serion de Fourier, aŭ male. Ĉi tiu estas uzita en la q-serio (ekspansio, elvolvaĵo) de la j-invarianto.

Eksteraj ligiloj

greke Eric W. Weisstein, Serio de Laurent en MathWorld. greke Serio de Laurent greke Serio de Laurent kaj aro de Mandelbrot de Robert Munafo greke Serio de Laurent en MacTutor History of Mathematics archive (angle)