Sigma adicieco

Ĉi tiu artikolo temas pri funkcioj de subaroj. Por aliaj signifoj vidu la artikolon adicia funkcio.

En matematiko, adicieco kaj sigma adicieco de funkcio difinita sur subaroj de donita aro estas propraĵoj de la funkcio kiu donas la intuiciajn propraĵojn de amplekso (longo, areo, volumeno) de la subaroj.

Adiciaj (aŭ finie adiciaj) araj funkcioj

Estu μ funkcio difinita sur algebro de aroj D kun valoroj en [-∞, +∞] (vidu en la etendita reela nombra linio). La funkcio μ estas adicia se, por ĉiuj disaj aroj A kaj B en D

$\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)$

Konsekvenco de ĉi tio estas, ke adicia funkcio ne povas preni ambaŭ -∞ kaj +∞ kiel valoroj, pro tio ke esprimo +∞+(-∞) estas nedifinita.

Oni povas pruvi per matematika indukto, ke adicia funkcio kontentigas

$\mu (\bigcup _{n=1}^{N}A_{n})=\sum _{n=1}^{N}\mu (A_{n})$

por ĉiuj disaj aroj A₁, A₂, ..., A_N en D.

σ-adiciaj araj funkcioj

Estu D estas σ-algebro. Se por ĉiu vico A₁, A₂, ..., A_k, ... de disaj aroj en D

$\mu (\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n})=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})$

μ estas kalkuleble adicia aŭ σ-adicia.

Ĉiu σ-adicia funkcio estas aficia sed ne inverse, kiel estas montrite pli sube.

Propraĵoj

• μ(∅) = 0.
• Se μ estas nenegativa kaj A ⊆ B, do μ(A) ≤ μ(B).
• Se A ⊂ B, do μ(B-A) = μ(B) - μ(A).
• μ(A ∪ B) + μ(A ∩ B) = μ(A) + μ(B).

Ekzemploj

Ekzemplo de σ-adicia funkcio estas funkcio μ difinita super la aro de ĉiuj subaroj de la reelaj nombroj kiel

$\mu (A)={\begin{cases}1&{\mbox{ se }}0\in A\\0&{\mbox{ se }}0\notin A.\end{cases}}$

Se A₁, A₂, ..., A_k, ... estas vico de disaj aroj de reelaj nombroj, tiam neniu el la aroj enhavas 0, malinkluzive aŭ precize unu de ilin enhavas 0. En ĉu okazo la egaleco

$\mu (\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n})=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})$

veras.

Ekzemplo de adicia funkcio kiu estas ne σ-adicia estas funkcio μ difinita super la aro de ĉiuj subaroj de la reelaj nombroj kiel

$\mu (A)={\begin{cases}\infty &{\mbox{ se }}0\in {\bar {A}}\\0&{\mbox{ se }}0\notin {\bar {A}}\end{cases}}$

kie ${\bar {A}}$ signifas la fermaĵon de aro A.

Ĉi tiu funkcio estas adicia pro tio ke fermaĵo de finia unio de aroj estas la unio de fermaĵoj de la aroj, kaj povas esti la du okazoj se 0 estas en la fermaĵo de iu el ĉi tiuj aroj aŭ ne. Ĉi tiu funkcio estas ne σ-adicia, ĉi tio sekvas el konsidero de vico de disaj aroj

$A_{n}=\left[{\frac {1}{n+1}},\,{\frac {1}{n}}\right)$

por n=1, 2, 3, ... La unio de ĉi tiuj aroj estas la intervalo (0, 1) kies fermaĵo estas [0, 1] kaj μ aplikita al la unio estas tiam malfinio, sed μ aplikita al ĉiu el la A_n estas nulo, do la sumo de μ(A_n) estas ankaŭ nulo, kiu demonstras la kontraŭekzemplon.

Lebega mezuro estas ekzemplo de σ-adicia funkcio. Vidu en mezuro kaj signuma mezuro por pliaj ekzemploj de σ-adiciaj funkcioj.

Ĝeneraligoj

Oni povas difini adiciajn funkciojn kun valoroj en ĉiu adicia monoido (ekzemple ĉiu grupo aŭ pli kutime vektora spaco). Por sigmo-adicieco, oni bezonas aldone ke la koncepto de limeso de vico estu difinita sur ĉi tiu aro. Ekzemple, spektraj mezuroj estas sigmo-adiciaj funkcioj kun valoroj en banaĥa algebro. Alia ekzemplo, ankaŭ de kvantummekaniko, estas la pozitiva operatoro-valora mezuro.

Vidu ankaŭ

• Mezuro (matematiko)
• Signuma mezuro
• Lebega mezuro
• Adicia funkcio
• Subadicia funkcio
• Teoremo de Hahn-Kolmogorov

Eksteraj ligiloj

• Adicia en PlanetMath.