Sigmo-funkcio de Weierstrass

En matematiko, la funkcioj Weierstrass estas tri specialaj funkcioj de komplekso variablo kiuj estas akcesoraj al la elipsa funkcio de Weierstrass

$\wp(z)$

Sigmo-funkcio de Weierstrass

La sigmo-funkcio de Weierstrass asociita al du-dimensia fundamenta paro de periodoj (krado) $\Lambda\subset\Complex$ estas difinita kiel produto

$\sigma(z;\Lambda)=z\prod_{w\in\Lambda^{*}} \left(1-\frac{z}{w}\right) e^{z/w+\frac{1}{2}(z/w)^2}$

kie $\Lambda^{*}$ estas $\Lambda-\{ 0 \}$.

Zeto-funkcio de Weierstrass

La zeto-funkcio de Weierstrass estas difinita kiel sumo

$\zeta(z;\Lambda)=\frac{\sigma'(z;\Lambda)}{\sigma(z;\Lambda)}=\frac{1}{z}+\sum_{w\in\Lambda^{*}}\left( \frac{1}{z-w}+\frac{1}{w}+\frac{z}{w^2}\right)$

La zeto-funkcio de Weierstrass estas surbaze de la logaritma derivaĵo de la sigmo-funkcio. La zeto-funkcio povas esti reskribita kiel:

$\zeta(z;\Lambda)=\frac{1}{z}-\sum_{k=1}^{\infty}\mathcal{G}_{2k+2}(\Lambda)z^{2k+1}$

kie $\mathcal{G}_{2k+2}$ estas la serio de Eisenstein de pezo 2k+2.

La derivaĵo de la zeto-funkcio estas $-\wp(z)$.

La zeto-funkcio de Weierstrass devus ne esti konfuzita kun la rimana ζ-funkcio.

Eto-funkcio de Weierstrass

La eto-funkcio de Weierstrass estas difinita kiel

$\eta(w;\Lambda)=\zeta(z+w;\Lambda)-\zeta(z;\Lambda), \mbox{ por cxiu } z \in \Complex$

Povas esti pruvite ke ĉi tio estas bona difina, kio estas $\zeta(z+w;\Lambda)-\zeta(z;\Lambda)$ dependas nur de w.

La eto-funkcio de Weierstrass devas ne esti konfuzita kun la dedekinda eta funkcio.

Eksteraj ligiloj

    Sigma funkcio de Weierstrass en PlanetMath.