Simbolo de Legendre

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

La símbolo de Legendre, \left ( \frac{a}{p} \right), estas multiplika funkcio uzata en nombroteorio, pri kiu argumentoj estas entjera nombro a kaj prima nombro p, kaj valoras 1, -1 aŭ 0, dependante ĉu a estas, aŭ ne, kvadrata restaĵo module p, ĉi tiu difinita per la kongrua rilato inter a kaj estanta, aŭ ne, nombro x, tielmaniere ke:

x^2 \equiv a \pmod p.

Tiu simbolo estis kreita de Adrien-Marie Legendre en 1798[1].

La Jakobia simbolo estas ĝeneraligo de simbolo de Legendre, pri kiu p estas iu ajn pozitiva nepara nombro.

Difino[redakti | redakti fonton]

Konsiderante ĉiuj entjerojn a kaj ĉiuj neparaj primojn p, simbolo de Legendre (\frac{a}{p}) estas difinita per:


\left(\frac{a}{p}\right) = 
\begin{cases}
\;\;\,1 \text{ se } a \text{ estas kvadrata restaĵo laŭ modulo}\ p
\text{ kaj } a \not\equiv 0\pmod{p} \\
-1 \text{ se } a \text{ ne estas kvadrata restaĵo laŭ modulo}\ p\\
\;\;\,0 \text{ se } a \equiv 0 \pmod{p} \text{ , t.e. } a \text{ estas oblo de}\ p.  
\end{cases}

La origina difino de Legendre estis per la eksplicita formulado:

 \left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{(p-1)/2} \pmod{ p}\;\;\text{  kaj } \left(\frac{a}{p}\right) \in \{-1,0,1\} \ .

Laŭ la kriterio de Eŭlero, kiu estis eltrovita antaŭe kaj estis konita de Legendre, tiuj du supraj difinoj estas ekvivalentaj[2].

Ekzemploj[redakti | redakti fonton]

* 2 estas kvadrata restaĵo modulo 7, ĉar 2\equiv 3^2\pmod 7, kaj la kalkulo laŭ la difino de Legendre kondukas al :
\left(\frac{2}{7}\right) \equiv 2^{\frac{7-1}{2}}= 2^3 \equiv 1\mod7 \ .
* 5 ne estas kvadrata restaĵo modulo 7 :
\left(\frac{5}{7}\right) \equiv 5^{\frac{7-1}{2}} = 5^3 \equiv 6 \equiv -1 \mod 7  \ .
* 14 estas dividebla per 7 :
\left(\frac{14}{7}\right) \equiv 14^{\frac{7-1}{2}} = 14^3 \equiv 0 \mod7 \ .

Proprecoj[redakti | redakti fonton]

fakte, \left(\frac{ab}p\right)=(ab)^{\frac{p-1}2}=a^{\frac{p-1}2}b^{\frac{p-1}2}=\left(\frac ap\right)\left(\frac bp\right).

  • Se a\equiv b\pmod p, do \left(\frac ap\right) = \left(\frac bp\right).
  • \left(\frac1p\right)=1, ĉar 1 estas kvadrato si mem.
  • \left(\frac{-1}p\right)=(-1)^{\left(\frac{p-1}2\right)}=
\begin{cases}~~1\text{ se }p\equiv 1\pmod4\\-1\text{ se }p \equiv 3\pmod4.\end{cases} (aparta kazo de -1).
  • \left(\frac2p\right) =(-1)^\tfrac{p^2-1}{8}=
\begin{cases}~~1\text{ se }p\equiv 1\text{ ou }7 \pmod8\\-1\text{ se }p \equiv 3\text{ ou }5 \pmod8.\end{cases} (aparta kazo de 2).
  • \left(\frac a2\right) = 1 se a estas nepara nombro, kaj 0 se para.
  • Se q estas nepara primo, do \left(\frac qp\right) = \left(\frac pq\right)(-1)^{\left(\frac{p-1}2\right)\left(\frac{q-1}2\right)};

la lasta propreco estas konata sub la nomo de leĝo de kvadrata reciprokeco.

Notoj[redakti | redakti fonton]

  1. A. M. Legendre Essai sur la theorie des nombres (Eseo pri la nombroteorio) Parizo 1798, p 186
  2. Hardy & Wright, Thm. 83.

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]