Spektra radiuso

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En matematiko, la spektra radiuso de matricobarita lineara operatoro estas la preciza supra rando inter la absolutaj valoroj de la eroj en ĝia spektro, kiu estas iam signifata per ρ(·).

Spektra radiuso de matrico[redakti | redakti fonton]

Estu λ1, ..., λs la (reelajkompleksaj) ajgenoj de matrico A ∈ Cn×n. Tiam ĝia spektra radiuso ρ(A) estas difinita kiel:

\rho(A) = \max_i(|\lambda_i|)

Estu A komplekso-valora n×n matrico, ρ(A) ĝia spektra radiuso kaj ||·|| konsekvenca matrica normo (konsekvenceco estas ke ||Ax|| ≤ ||A|| ||x|| por ĉiu matrico A kaj ĉiu vektoro x de amplekso n). Tiam ĝia spektra radiuso de matrico havas jenajn propraĵojn:

  • Supera baro por la spektra radiuso de matrico: por ĉiu k ∈ N :
    \rho(A)\leq \|A^k\|^{1/k},\ \forall k \in \mathbb{N}
  • La spektra radiuso estas proksime rilatanta al la konduto de la konverĝo de la potenca vico de matrico:
    \lim_{k \to \infty}A^k=0 se kaj nur se ρ(A)<1.
    Ankaŭ, se ρ(A)>1, ||Ak|| estas ne barita kun pligrandiĝo de k (veras ankaŭ por ne-konsekvenca matrica normo).
  • Formulo de Gelfand (veras ankaŭ por ne-konsekvenca matrica normo)
    \rho(A)=\lim_{k \to \infty}||A^k||^{1/k}
    En aliaj vortoj, la formulo de Gelfand montras kiel la spektra radiuso de A donas la asimptotan kreskadan kurzon de la normo de Ak:
    \|A^k\|\sim\rho(A)^k por k\rightarrow \infty
  • La formulo de Gelfand kondukas rekte al baro sur la spektra radiuso de produto de finie multaj matricoj, alprenanta ke ili ĉiuj komutiĝas (kio estas ke iliaj produtoj ne dependas de la ordo de multiplikatoj):
     \rho(A_1 A_2 \ldots A_n) \leq \rho(A_1) \rho(A_2)\ldots \rho(A_n)
  • Kunigante la formulon de Gelfand kun la supre skribitan propraĵon, se la normo estas konsekvenca, eblas skribi plu ke aliro al la limigo estas desupre
    \lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k} = \rho(A)^+

Ekzemplo: Estu matrico

A=\begin{bmatrix}
9 & -1 & 2\\
-2 & 8 & 4\\
1 & 1 & 8
\end{bmatrix}

kies ajgenoj estas 5, 10, 10. Laŭ difino, ĝia spektra radiuso estas ρ(A)=10. Jen estas, la valoroj de \|A^k\|^{1/k} por la kvar plejmulte uzataj normoj estas por kelkaj pligrandiĝantaj valoroj de k (noto ke pro la aparta formo de ĉi tiu matrico, \|.\|_1=\|.\|_\infty):

k \|.\|_1=\|.\|_\infty \|.\|_F \|.\|_2
1 14 15,362291496 10,681145748
2 12,649110641 12,328294348 10,595665162
3 11,934831919 11,532450664 10,500980846
4 11,501633169 11,151002986 10,418165779
5 11,216043151 10,921242235 10,351918183
10 10,604944422 10,455910430 10,183690042
11 10,548677680 10,413702213 10,166990229
12 10,501921835 10,378620930 10,153031596
20 10,298254399 10,225504447 10,091577411
30 10,197860892 10,149776921 10,060958900
40 10,148031640 10,112123681 10,045684426
50 10,118251035 10,089598820 10,036530875
100 10,058951752 10,044699508 10,018248786
200 10,029432562 10,022324834 10,009120234
300 10,019612095 10,014877690 10,006079232
400 10,014705469 10,011156194 10,004559078
1000 10,005879594 10,004460985 10,001823382
2000 10,002939365 10,002230244 10,000911649
3000 10,001959481 10,001486774 10,000607757
10000 10,000587804 10,000446009 10,000182323
20000 10,000293898 10,000223002 10,000091161
30000 10,000195931 10,000148667 10,000060774
100000 10,000058779 10,000044600 10,000018232

Pruvoj[redakti | redakti fonton]

Lemo pri supera baro por la spektra radiuso de matrico:

Lemo: Estu A komplekso-valora n×n matrico, ρ(A) ĝia spektra radiuso kaj ||·|| konsekvenca matrica normo; tiam, por ĉiu k ∈ N :

\rho(A)\leq \|A^k\|^{1/k},\ \forall k \in \mathbb{N}

Pruvo: Estu (v, λ) ajgenvektoro-ajgena paro por matrico A. Pro la sub-multiplika propraĵo de la matrica normo:

|\lambda|^k\|\mathbf{v}\| = \|\lambda^k \mathbf{v}\| = \|A^k \mathbf{v}\| \leq \|A^k\|\cdot\|\mathbf{v}\|

kaj pro tio ke v ≠ 0 por ĉiu λ ni havi

|\lambda|^k\leq \|A^k\|

kaj pro tio

\rho(A)\leq \|A^k\|^{1/k}

La spektra radiuso estas proksime rilatanta al la konduto de la konverĝo de la potenca vico de matrico; jena teoremo veras:

Teoremo: Estu A komplekso-valora n×n matrico, ρ(A) ĝia spektra radiuso; tiam

\lim_{k \to \infty}A^k=0 se kaj nur se ρ(A)<1.

Ankaŭ, se ρ(A)>1, ||Ak|| estas ne barita kun pligrandiĝo de k.

Pruvo de tio ke \lim_{k \to \infty}A^k = 0 \Rightarrow \rho(A) < 1:

Estu (v, λ) ajgenvektoro-ajgena paro por matrico A. (Ekde, Ĉar, Pro tio ke)

A^k\mathbf{v} = \lambda^k\mathbf{v}

oni havas:

 (\lim_{k \to \infty}A^k)\mathbf{v} = 0
 \lim_{k \to \infty}A^k\mathbf{v} = 0
 \lim_{k \to \infty}\lambda^k\mathbf{v} = 0
 \mathbf{v}\lim_{k \to \infty}\lambda^k = 0

kaj, pro tio ke per hipotezo v0 , oni devas havi

\lim_{k \to \infty}\lambda^k = 0

kio implicas ke |λ| < 1. Pro tio ke ĉi tio devas esti vera por ĉiu ajgeno λ, oni povas konkludi ke ρ(A) < 1.

Pruvo de tio ke \rho(A)<1 \Rightarrow \lim_{k \to \infty}A^k = 0:

De la teoremo pri jordana normala formo, oni scii ke por ĉiu n×n komplekso-valora matrico A, ekzistas ne-degenera matrico n×n komplekso-valora matrico V kaj n×n komplekso-valora bloko-diagonala matrico J tiaj ke:
A = VJV-1

kun

J=\begin{bmatrix}
J_{m_1}(\lambda_1) & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & J_{m_2}(\lambda_2) & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \cdots & \ddots & \cdots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & J_{m_{s-1}}(\lambda_{s-1}) & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & J_{m_s}(\lambda_s)
\end{bmatrix}

kie

J_{m_i}(\lambda_i)=\begin{bmatrix}
\lambda_i & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_i & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_i & 1 \\
0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_i
\end{bmatrix}\in \mathbb{C}^{m_i,m_i}, 1\leq i\leq s

Tiel

Ak = VJkV-1

kaj, pro tio ke J estas bloko-diagonala,

J^k=\begin{bmatrix}
J_{m_1}^k(\lambda_1) & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & J_{m_2}^k(\lambda_2) & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \cdots & \ddots & \cdots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & J_{m_{s-1}}^k(\lambda_{s-1}) & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & J_{m_s}^k(\lambda_s)
\end{bmatrix}

Nun, norma rezulto sur la k-a potenco de mi × mi jordana bloko estas ke, por k≥mi-1:

J_{m_i}^k(\lambda_i)=\begin{bmatrix}
\lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} & {k \choose 2}\lambda_i^{k-2} & \cdots & {k \choose m_i-1}\lambda_i^{k-m_i+1} \\
0 & \lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} & \cdots & {k \choose m_i-2}\lambda_i^{k-m_i+2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} \\
0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_i^k
\end{bmatrix}

Tial, se ρ(A) < 1 do i| < 1 por ĉiuj i kaj do por ĉiuj i

\lim_{k \to \infty}J_{m_i}^k=0

kio implicas ke

\lim_{k \to \infty}J^k = 0

Pro tio,

\lim_{k \to \infty}A^k=\lim_{k \to \infty}VJ^kV^{-1}=V(\lim_{k \to \infty}J^k)V^{-1}=0

Male, se ρ(A)>1, do estas almenaŭ unu ero en J kiu ne restas barita kiam k pligrandiĝas, tiel pruvante la duan parton de la frazo.

Formulo de Gelfand[redakti | redakti fonton]

Por ĉiu matrica normo ||·||

\rho(A)=\lim_{k \to \infty}||A^k||^{1/k}

En aliaj vortoj, la formulo de Gelfand montras kiel la spektra radiuso de A donas la asimptotan kreskadan kurzon de la normo de Ak:

\|A^k\|\sim\rho(A)^k por k\rightarrow \infty

Pruvo:

Por ĉiu ε > 0, konsideru la matricon

\tilde{A}=(\rho(A)+\epsilon)^{-1}A

Tiam

\rho(\tilde{A}) = \frac{\rho(A)}{\rho(A)+\epsilon} < 1

kaj, per la antaŭa teoremo,

\lim_{k \to \infty}\tilde{A}^k=0

Ĉi tio signifas, luzu difino de limigo, ekzistas natura nombro N1 tia ke

\forall k\geq N_1 \Rightarrow \|\tilde{A}^k\| < 1

kio laŭvice signifas ke

\forall k\geq N_1 \Rightarrow \|A^k\| < (\rho(A)+\epsilon)^k

\forall k\geq N_1 \Rightarrow \|A^k\|^{1/k} < (\rho(A)+\epsilon)

Konsideru la matricon

\check{A}=(\rho(A)-\epsilon)^{-1}A

Tiam

\rho(\check{A}) = \frac{\rho(A)}{\rho(A)-\epsilon} > 1

kaj tiel, per la antaŭa teoremo, \|\check{A}^k\| estas ne barita.

Ĉi tio signifas ke ekzistas natura nombro N2 tia ke

\forall k\geq N_2 \Rightarrow \|\check{A}^k\| > 1

kio laŭvice signifas ke

\forall k\geq N_2 \Rightarrow \|A^k\| > (\rho(A)-\epsilon)^k

\forall k\geq N_2 \Rightarrow \|A^k\|^{1/k} > (\rho(A)-\epsilon)

Estu N=max(N1, N2)

kaj do

\forall \epsilon>0, \exists N\in\mathbb{N}: \forall k\geq N \Rightarrow \rho(A)-\epsilon < \|A^k\|^{1/k} < \rho(A)+\epsilon

kiu, laŭ difino, estas

\lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k} = \rho(A)

Reale, en la okazo se la normo estas konsekvenca, la pruvo montras pli multon ol ol la tezo; fakte, uzante la antaŭan lemon, oni povas anstataŭi en la difino de la limigo la suban baron per la spektra radiuso mem kaj skribi pli detale:

\forall \epsilon>0, \exists N\in\mathbb{N}: \forall k\geq N \Rightarrow \rho(A) \leq \|A^k\|^{1/k} < \rho(A)+\epsilon

kio, laŭ difino, estas

\lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k} = \rho(A)^+

La formulo de Gelfand kondukas rekte al baro sur la spektra radiuso de produto de finie multaj matricoj, alprenante ke ili ĉiuj komutiĝas:

 \rho(A_1 A_2 \ldots A_n) \leq \rho(A_1) \rho(A_2)\ldots \rho(A_n)

Por pruvo necesas elekti sub-multiplikan matrican normon.

Spektra radiuso de barita lineara operatoro[redakti | redakti fonton]

Por barita lineara operatoro A kaj la operatora normo ||·||, denove estas

\rho(A) = \lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k}

Barita operatoro (sur kompleksa hilberta spaco) nomata kiel spectruma operatoro se ĝia spektra radiuso koincidas kun ĝia cifereca radiuso. Ekzemplo de ĉi tia operatoro estas normala operatoro (kio estas operatoro kiu komutiĝas kun sia adjunkta operatoro: A*A = AA*).

Spektra radiuso de grafeo[redakti | redakti fonton]

La spektra radiuso de finia grafeo estas difinita kiel la spektra radiuso de ĝia najbarmatrico.

Ĉi tiu difino etendas al la okazo de malfiniaj grafeoj kun baritaj gradoj de verticoj (kio estas tie ekzistas iu reela nombro C tia ke la grado de ĉiu vertico de la grafeo estas pli malgranda ol C). En ĉi tiu okazo, por la grafeo G estu  l^2(G) signifi la spaco de funkcioj  f \colon V(G) \to {\mathbb R} kun  \sum_{v \in V(G)} \|f(v)^2\| < \infty . Estu  \gamma \colon l^2(G) \to l^2(G) la najbareca operatoro de G, kio estas,  (\gamma f)(v) = \sum_{(u,v) \in E(G)} f(u) . La spektra radiuso de G estas difinita kiel la spektra radiuso de la barita lineara operatoro γ.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]