Suma regulo en diferencialado

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

La suma regulo en diferencialado estas unu el regulo en diferencialado. La suma regulo en integralado sekvas el la suma regulo en diferencialado. La regulo mem estas direkta konsekvenco de diferencialado de unuaj principoj.

La suma regulo asertas ke por du funkcioj u kaj v:

\frac{d}{dx}(u + v)=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}

Ĉi tiu regulo ankaŭ aplikas al subtraho kaj al aldonoj kaj subtrahoj de pli ol du funkcioj

\frac{d}{dx}(u + v + w + \cdots)=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}+\frac{dw}{dx}+\cdots

Pruvo[redakti | redakti fonton]

Estu y esti funkcio donita per sumo de du funkcioj u kaj v, tia ke:

 y = u + v \,

Nun estu y, u kaj v pligrandiĝitaj per malgranda pligrandiĝo δy, δu kaj δv respektive. De ĉi tie:

 y + \Delta{y} = (u + \Delta{u}) + (v + \Delta{v}) = u + v + \Delta{u} + \Delta{v} = y + \Delta{u} + \Delta{v}. \,

Do:

 \Delta{y} = \Delta{u} + \Delta{v}. \,

Nun dividu tuton per δx:

 \frac{\Delta{y}}{\Delta{x}} = \frac{\Delta{u}}{\Delta{x}} + \frac{\Delta{v}}{\Delta{x}}.

Sterbu δx al 0:

 \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}.

Nun memoru ke y = u + v, ricevante la suman regulon en diferencialado:

 \frac{d}{dx}\left(u + v\right) = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} .

La regulo povas esti etendita al subtraho, kiel sekvas:

 \frac{d}{dx}\left(u - v\right) = \frac{d}{dx}\left(u + (-v)\right) = \frac{du}{dx} + \frac{d}{dx}\left(-v\right).

Nun uzu la speciala okazo de la konstanta faktora regulo en diferencialado kun k=-1 por ricevi:

 \frac{d}{dx}\left(u - v\right) = \frac{du}{dx} + \left(-\frac{dv}{dx}\right) = \frac{du}{dx} - \frac{dv}{dx}.

Pro tio, la suma regulo povas esti etendita por ĝi "akceptu" aldonon kaj subtrahon kiel sekvas:

 \frac{d}{dx}\left(u \pm v\right) = \frac{du}{dx} \pm \frac{dv}{dx}.

La suma regulo en diferencialado povas esti uzita kiel parto de la derivaĵo por ambaŭ la suma regulo en integralado kaj lineareco de diferencialado.

Ĝeneraligo al sumoj[redakti | redakti fonton]

Oni havu iun aron de funkcioj f1, f2,..., fn. Tiam

 \frac{d}{dx} \left(\sum_{1 \le i \le n} f_i(x)\right) = \frac{d}{dx}\left(f_1(x) + f_2(x) + \cdots + f_n(x)\right) = \frac{d}{dx}f_1(x) + \frac{d}{dx}f_2(x) + \cdots + \frac{d}{dx}f_n(x)

do

 \frac{d}{dx} \left(\sum_{1 \le i \le n} f_i(x)\right) = \sum_{1 \le i \le n} \left(\frac{d}{dx}f_i(x)\right) .

En aliaj vortoj, la derivaĵo de ĉiu sumo de funkcioj estas sumo de la derivaĵoj de tiuj funkcioj.

Ĉi tiu sekvas facile per indukto; oni havas ĵus pruvitan ĉi tion por n = 2. Estu ĝi vera por ĉiuj n < k, tiam difinu

g(x)=\sum_{i=1}^{k-1} f_i(x).

Tiam

\sum_{i=1}^k f_i(x)=g(x)+f_k(x)

kaj ĝi sekvas de la pruvo pli supre

 \frac{d}{dx} \left(\sum_{i=1}^k f_i(x)\right) =  \frac{d}{dx}g(x)+\frac{d}{dx}f_k(x).

Per la indukta hipotezo,

\frac{d}{dx}g(x)=\frac{d}{dx} \left(\sum_{i=1}^{k-1} f_i(x)\right)=\sum_{i=1}^{k-1} \frac{d}{dx}f_i(x)

do

\frac{d}{dx} \left(\sum_{i=1}^k f_i(x) \right) = \sum_{i=1}^{k-1} \frac{d}{dx}f_i(x) + \frac{d}{dx}f_k(x)=\sum_{i=1}^k \frac{d}{dx}f_i(x)

kio finas la pruvon.