Sumo de Riemann

La Sumo de Riemann estas modo de difino de difinita integralo, kreaĵo de Bernhard Riemann. Pli precize, la sumo de Riemann estas ia proksumumaĵo de la integralo, kaj oni povas uzi ĝin ne nur por difini la integralon, kaj ankaŭ por trovi proksimumaĵon de ĝi.

Difino

Tiu ĉi sumo povas esti vidita kiel la proksimumaĵo de la areo sub funkcio per rektanguloj proksimume altaj kiel la funkcio. Se la rektanguloj estas pli mallarĝaj, tiam la proksimumaĵo estas pli bona. Pli precize, supozu ke $f$ estas funkcio difinita sur la intervalo $[a,b]$. Unue oni dividas la intervalon, kreinte malgrandajn intervalojn, $x_{0}=a<x_{1}<x_{2}<x_{3}<\cdots <x_{n}=b$. La $j$-a intervalo $[x_{j-1},x_{j}]$, havas longon $\Delta x_{j}=(x_{j}-x_{j-1})$. Poste oni ankaŭ elektas punkton $x_{j}^{*}$ en ĉiu intervalo. La sumo de Riemann estas

$$\sum _{j=1}^{n}f(x_{j}^{*})\Delta x_{j}.$$

Tiam la integralo estas difinita kiel ${\int _{a}^{b}}{f(x)}dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=1}^{n}{f(x_{j}^{*})}\Delta x_{j}$. La $n$-a rektangulo havas larĝon $\Delta x_{j}$, kaj alton $f(x_{j}^{*})$. Tiam $n$ estas la nombro de rektanguloj.

La Sumo de Riemann estas uzata kiel la plej simpla proksimumaĵo de integralo. Ofte, oni ne elektas tute hazardaj punktoj, sed ofte oni divides la intervalo egale, kaj tiam ĉiu intervaleto havas la saman longecon $\Delta x={\frac {b-a}{n}}$, do tiam $x_{j}={\frac {j(b-a)}{n}}+a$. Ofte ankaŭ oni elektas kiel $x_{j}^{*}$ la nombron $x_{j}$, $x_{j-1}$, aŭ eble ${\frac {x_{j}+x_{j-1}}{2}}$. Eble se ni uzus la dekstran flankon de ĉiu intervaleto, tiam

$$\sum _{j=1}^{n}f(x_{j}^{*})\Delta x_{j}=\sum _{j=1}^{n}f\left({\frac {j(b-a)}{n}}+a\right){\frac {b-a}{n}}$$

Se la funkcio estas kontinua, tiuj sufiĉas, kaj ni nur devas preni la limeson $n\to \infty$.

Vidu ankaŭ

• Rimana integralo
• Integralo