Triangula matrico

El Vikipedio, la libera enciklopedio
(Alidirektita el Supra triangula matrico)
Saltu al: navigado, serĉo

En lineara algebro, triangula matrico estas kvadrata matrico ĉe kiu ĉiuj elementoj pli sube aŭ pli supre la ĉefdiagonalo estas nuloj.

Matrico de formo

 \mathbf{L}=
\begin{bmatrix}
l_{1,1} &         &        &           & 0  \\
l_{2,1} & l_{2,2} &        &           &    \\
l_{3,1} & l_{3,2} & \ddots &           &    \\
\vdots  & \vdots  & \ddots & \ddots    &    \\
l_{n,1} & l_{n,2} & \ldots & l_{n,n-1} & l_{n,n}
\end{bmatrix}

estas suba triangula matricomaldekstra triangula matrico.

Matrico de formo

 \mathbf{U} =
\begin{bmatrix}
u_{1,1} & u_{1,2} & u_{1,3} & \ldots & u_{1,n}  \\
        & u_{2,2} & u_{2,3} & \ldots & u_{2,n}  \\
        &         & \ddots  & \ddots & \vdots   \\
        &         &         & \ddots & u_{n-1,n}\\
  0     &         &         &        & u_{n,n}
\end{bmatrix}

estas supra triangula matricodekstra triangula matrico.

Litero L estas kutime uzata por suba triangula matrico, kaj litero UR estas kutime uzata por supra triangula matrico.

La kutimaj operacioj sur triangulaj matricoj oportune konservas la triangulecon. Sumo kaj produto de du supraj triangulaj matricoj estas denove supra triangula. La inverso de supra triangula matrico estas ankaŭ supra triangula. Produto de supra triangula matrico kun konstanto estas denove supra triangula. Ĉi tiu signifas ke la supraj triangulaj matricoj formas subalgebron de la ringo de kvadrataj matricoj por ĉiu donita amplekso.

La analoga rezulto veras por subaj triangulaj matricoj.

Tamen, produto de suba triangula kun supra triangula matrico povas jam ne esti triangula.

Ĉar matricaj ekvacioj kun triangulaj matricoj estas pli simpla en solvado (vidu sube), triangulaj matricoj estas tre gravaj en cifereca analitiko. La LU malkomponaĵo donas algoritmon por malkomponi ĉiun inversigeblan matricon A en normigitan suban triangulan matricon L kaj supran triangulan matricon U.

Specialaj formoj[redakti | redakti fonton]

Triangula matrico kun nulaj elementoj sur la ĉefdiagonalo estas severe supra aŭ suba triangula. Ĉiu severe triangula matrico estas nulpotenca matrico.

Se ĉiuj elementoj sur la ĉefdiagonalo estas 1, la matrico estas supra aŭ suba unuobla triangulanormigita triangula. Tamen, normigita triangula matrico estas ne la sama kiel normala matrico, kaj unuobla triangula matrico estas ne la sama kiel la unuobla matrico (kiu estas identa matrico).

Gaŭsa matrico estas speciala formo de normigita triangula matrico, kie ĉiuj nediagonalaj elementoj estas nuloj, krom elementoj en unu kolumno. Tia matrico estas ankaŭ nomata kiel atoma supra aŭ suba triangula aŭ gaŭsa transforma matrico. Tiel atoma suba triangula matrico estas de formo

 \mathbf{L}_{i} =
\begin{bmatrix}
     1 &        &        &           &        &         &     & 0 \\
     0 & \ddots &        &           &        &         &     &   \\
     0 & \ddots &      1 &           &        &         &     &   \\
     0 & \ddots &      0 &         1 &        &         &     &   \\
       &        &      0 & l_{i+1,i} &      1 &         &     &   \\
\vdots &        &      0 & l_{i+2,i} &      0 &  \ddots &     &   \\
       &        & \vdots &    \vdots & \vdots &  \ddots &   1 &   \\
     0 &  \dots &      0 &   l_{n,i} &      0 &   \dots &   0 & 1 \\
\end{bmatrix}

La inverso de atoma triangula matrico estas denove atoma triangula:

 \mathbf{L}_{i}^{-1} =
\begin{bmatrix}
     1 &        &        &            &        &         &     & 0 \\
     0 & \ddots &        &            &        &         &     &   \\
     0 & \ddots &      1 &            &        &         &     &   \\
     0 & \ddots &      0 &          1 &        &         &     &   \\
       &        &      0 & -l_{i+1,i} &      1 &         &     &   \\
\vdots &        &      0 & -l_{i+2,i} &      0 &  \ddots &     &   \\
       &        & \vdots &     \vdots & \vdots &  \ddots &   1 &   \\
     0 &  \dots &      0 &   -l_{n,i} &      0 &   \dots &   0 & 1 \\
\end{bmatrix}
,

do la nediagonalaj elementoj estas multiplikitaj je -1.

Specialaj propraĵoj[redakti | redakti fonton]

Matrico estas samtempe supra kaj suba triangula se kaj nur se ĝi estas diagonala matrico.

Matrico estas samtempe normigita supra kaj normigita suba triangula se kaj nur se ĝi estas identa matrico.

Matrico kiu estas samtempe triangula kaj normala, estas ankaŭ diagonala. Ĉi tio povas esti montrita per rigardo je diagonalaj elementoj de A*A kaj AA*, kie A estas normala, triangula matrico.

La transpono de supra triangula matrico estas suba triangula matrico kaj reen. La determinanto de triangula matrico egalas al produto de la diagonalaj elementoj, kaj la ajgenoj de triangula matrico estas la diagonalaj elementoj.

Ĝenerale, operacioj povas esti plenumitaj sur triangulaj matricoj en duono de la tempo kiu estas bezonata por la sama operacio sur ĝeneralaj matricoj.

Ekzemploj[redakti | redakti fonton]

La matrico


\begin{bmatrix}
2 & 6 & -2 \\
0 & 4 & 3 \\
0 & 0 & -1 \\
\end{bmatrix}

estas supra triangula kaj


\begin{bmatrix}
8 & 0 & 0 \\
5 & 6 & 0 \\
-3 & -1 & 7 \\
\end{bmatrix}

estas suba triangula.

La matrico


\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 1 & 0 \\
0 & -3 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}

estas atoma suba triangula. Ĝia inverso estas


\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & -4 & 1 & 0 \\
0 & 3 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}

Apliko: dorsa anstataŭo[redakti | redakti fonton]

Matrica ekvacio de formo

Lx = b

Ux = b

kie L kaj U estas m×m triangulaj matricoj, subaj kaj supra respektive,

x estas nesciata m×1 vektoro,
b estas sciata m×1 vektoro, la dekstra parto

estas tre facila en solvado. La matrica ekvacio Lx = b povas esti skribita kiel sistemo de linearaj ekvacioj


\begin{matrix}
l_{1,1} x_1 & & & & & = & b_1 \\
l_{2,1} x_1 & + & l_{2,2} x_2 & & & = & b_2 \\
 \vdots & & \vdots & \ddots & & & \vdots \\
l_{m,1} x_1 & + & l_{m,2} x_2 & + \ldots + & l_{m,m} x_m & = & b_m \\
\end{matrix}

kiu povas esti solvita kiel:

 x_1 = \frac{b_1}{l_{1,1}},
 x_2 = \frac{b_2 - l_{2,1} x_1}{l_{2,2}},
 \vdots
 x_m = \frac{b_m - \sum_{i=1}^{m-1} l_{m,i}x_i}{l_{m,m}}.

Matrica ekvacio kun supra triangula matrico U povas esti solvita en analoge. Ĉi tiu procezo estas nomata kiel la dorsa anstataŭo.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]