Teoremo de Green

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En fiziko kaj matematiko teoremo de Green donas la interrilaton inter linia integralo ĉirkaŭ simpla fermita kurbo C kaj duobla integralo super la ebena regiono D barita per C. La teoremo de Green estis nomita laŭ brita sciencisto George Green kaj estas speciala okazo de la pli ĝenerala teoremo de Stokes.

La propozicio de la teoremo estas jena: Estu C dekstruma, glata, simpla fermita kurbo en la ebeno kaj estu D la regiono barita per C. Se L kaj M havas kontinuajn partajn derivaĵojn en malfermita regiono enhavanta D-an, rezultas

\int_{C} L\, dx + M\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA

Iam malgranda cirklo estas lokita supre sur la integrala simbolo:

\oint_{C}

Tio indikas, ke la kurbo C estas fermita. Por indiki pozitivan orientiĝon, sago en la laŭhorloĝnadla direkto estas iam desegnita en la cirklo sur la integrala simbolo.

Pruvo de la teoremo kiam D estas simpla regiono[redakti | redakti fonton]

Se D estas la simpla regiono tiel ke x ∈ [a, b] kaj g1(x) < y < g2(x) kaj la rando de D estas dividita je la kurboj C1, C2, C3, C4, oni povas demonstri la teoremon.

Se eblas esti montrite ke

\int_{C} L\, dx = \iint_{D} \left(- \frac{\partial L}{\partial y}\right) dA\qquad\mathrm{(1)}

kaj

\int_{C} M\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x}\right)\, dA\qquad\mathrm{(2)}

estas veraj, la teoremo estas pruvita.

Estu regiono D simpla sufiĉe por la celoj. Se regiono D estas esprimita kiel:

D = \{(x,y)|a\le x\le b, g_1(x) \le y \le g_2(x)\}

kie g1 kaj g2 estas kontinuaj funkcioj, la duopa integralo en (1) povas esti skribata kiel:

 \iint_{D} \left(\frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA =\int_a^b\!\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \left[\frac{\partial L}{\partial y} (x,y)\, dy\, dx \right]
 = \int_a^b \Big\{L[x,g_2(x)] - L[x,g_1(x)] \Big\} \, dx\qquad\mathrm{(3)}

Nun C povas esti reskribita kiel la unio de kvar kurboj C1, C2, C3, C4.

Kun C1, uzu la parametrajn ekvaciojn, x = x, y = g1(x), axb. Pro tio:

\int_{C_1} L(x,y)\, dx = \int_a^b \Big\{L[x,g_1(x)]\Big\}\, dx

Kun −C3, uzu la parametrajn ekvaciojn, x = x, y = g2(x), axb. Tiam:

\int_{C_3} L(x,y)\, dx = -\int_{-C_3} L(x,y)\, dx = - \int_a^b [L(x,g_2(x))]\, dx

Sur C2 kaj C4, x restas konstanto, do:

 \int_{C_4} L(x,y)\, dx = \int_{C_2} L(x,y)\, dx = 0

Do:

 \int_{C} L\, dx  = \int_{C_1} L(x,y)\, dx + \int_{C_2} L(x,y)\, dx + \int_{C_3} L(x,y) + \int_{C_4} L(x,y)\, dx
 = -\int_a^b [L(x,g_2(x))]\, dx + \int_a^b [L(x,g_1(x))]\, dx\qquad\mathrm{(4)}

Kombinante (3) kun (4), oni ricevas na:

\int_{C} L(x,y)\, dx = \iint_{D} \left(- \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA

Simila pruvo povas esti farita por (2).

Rilato al la teoremo de Stokes[redakti | redakti fonton]

La teoremo de Green estas speciala kazo de la teoremo de Stokes, kiam aplikita al la xy-ebeno.

Konsideru du-dimensian kampon kiel tri-dimensian kampon, pri kiu z-komponanto en kartezia koordinato estas nula: \vec \mathbf F = (L, M, 0).

De la maldekstra termo de la teoremo de Green aplikita al tiu aparta kampo :

\oint_{C} (L\, dx + M\, dy) = \oint_{C} (L, M, 0) \cdot (dx, dy, dz) = \oint_{C} \vec \mathbf F \cdot d \vec \mathbf r .\

Kaj laŭ la teoremo de Kelvino-Stokes :

\oint_{C} \vec \mathbf F \cdot d \vec \mathbf r = \iint_S \nabla \times \vec \mathbf F \cdot \vec \mathbf n \, dS ,\

kie \nabla estas la nabla operatoro uzita ĉi tie pri la kirlo.

Se la surfaco S estas la ebena regiono D, kun \vec \mathrm n la unuobla vektoro normala al la surfaco kaj pozitive orientita laŭ la +z direkto, tial \vec \mathrm n = \vec \mathrm k.

La esprimo inter la integralo iĝas :

\nabla \times \vec \mathbf F \cdot \vec \mathbf n = \left[ \left(\frac{\partial 0}{\partial y}  - \frac{\partial M}{\partial z}\right) \vec \mathbf i + \left(\frac{\partial L}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right) \vec \mathbf j + \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) \vec \mathbf k \right] \cdot \vec \mathbf k = \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) ;\

fakte oni obtenas la dekstran termon de la teoremo de Stokes:

\iint_S \nabla \times \vec \mathbf F \cdot \vec \mathbf n \, dS = \iint_D \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) \, dA .\

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]