En fiziko kaj matematiko teoremo de Green donas la interrilaton inter linia integralo ĉirkaŭ simpla fermita kurbo C kaj duobla integralo super la ebena regiono D barita per C . La teoremo de Green estis nomita laŭ brita sciencisto George Green kaj estas speciala okazo de la pli ĝenerala teoremo de Stokes .
La propozicio de la teoremo estas jena: Estu C dekstruma , glata, simpla fermita kurbo en la ebeno kaj estu D la regiono barita per C . Se L kaj M havas kontinuajn partajn derivaĵojn en malfermita regiono enhavanta D -an, rezultas
∫
C
L
d
x
+
M
d
y
=
∬
D
(
∂
M
∂
x
−
∂
L
∂
y
)
d
A
{\displaystyle \int _{C}L\,dx+M\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA}
Iam malgranda cirklo estas lokita supre sur la integrala simbolo:
∮
C
{\displaystyle \oint _{C}}
Tio indikas, ke la kurbo C estas fermita. Por indiki pozitivan orientiĝon, sago en la laŭhorloĝnadla direkto estas iam desegnita en la cirklo sur la integrala simbolo.
Pruvo de la teoremo kiam D estas simpla regiono [ redakti | redakti fonton ] Se D estas la simpla regiono tiel ke x ∈ [a , b ] kaj g 1 (x ) < y < g 2 (x ) kaj la rando de D estas dividita je la kurboj C1 , C2 , C3 , C4 , oni povas demonstri la teoremon. Se eblas esti montrite ke
∫
C
L
d
x
=
∬
D
(
−
∂
L
∂
y
)
d
A
(
1
)
{\displaystyle \int _{C}L\,dx=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dA\qquad \mathrm {(1)} }
kaj
∫
C
M
d
y
=
∬
D
(
∂
M
∂
x
)
d
A
(
2
)
{\displaystyle \int _{C}M\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(2)} }
estas veraj, la teoremo estas pruvita.
Estu regiono D simpla sufiĉe por la celoj. Se regiono D estas esprimita kiel:
D
=
{
(
x
,
y
)
|
a
≤
x
≤
b
,
g
1
(
x
)
≤
y
≤
g
2
(
x
)
}
{\displaystyle D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}}
kie g 1 kaj g 2 estas kontinuaj funkcioj, la duopa integralo en (1) povas esti skribata kiel:
∬
D
(
∂
L
∂
y
)
d
A
{\displaystyle \iint _{D}\left({\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA}
=
∫
a
b
∫
g
1
(
x
)
g
2
(
x
)
[
∂
L
∂
y
(
x
,
y
)
d
y
d
x
]
{\displaystyle =\int _{a}^{b}\!\!\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}\left[{\frac {\partial L}{\partial y}}(x,y)\,dy\,dx\right]}
=
∫
a
b
{
L
[
x
,
g
2
(
x
)
]
−
L
[
x
,
g
1
(
x
)
]
}
d
x
(
3
)
{\displaystyle =\int _{a}^{b}{\Big \{}L[x,g_{2}(x)]-L[x,g_{1}(x)]{\Big \}}\,dx\qquad \mathrm {(3)} }
Nun C povas esti reskribita kiel la unio de kvar kurboj C1 , C2 , C3 , C4 .
Kun C1 , uzu la parametrajn ekvaciojn , x = x , y = g 1 (x ), a ≤ x ≤ b . Pro tio:
∫
C
1
L
(
x
,
y
)
d
x
=
∫
a
b
{
L
[
x
,
g
1
(
x
)
]
}
d
x
{\displaystyle \int _{C_{1}}L(x,y)\,dx=\int _{a}^{b}{\Big \{}L[x,g_{1}(x)]{\Big \}}\,dx}
Kun −C 3 , uzu la parametrajn ekvaciojn , x = x , y = g 2 (x ), a ≤ x ≤ b . Tiam:
∫
C
3
L
(
x
,
y
)
d
x
=
−
∫
−
C
3
L
(
x
,
y
)
d
x
=
−
∫
a
b
[
L
(
x
,
g
2
(
x
)
)
]
d
x
{\displaystyle \int _{C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,dx}
Sur C 2 kaj C 4 , x restas konstanto, do:
∫
C
4
L
(
x
,
y
)
d
x
=
∫
C
2
L
(
x
,
y
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{C_{4}}L(x,y)\,dx=\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx=0}
Do:
∫
C
L
d
x
{\displaystyle \int _{C}L\,dx}
=
∫
C
1
L
(
x
,
y
)
d
x
+
∫
C
2
L
(
x
,
y
)
d
x
+
∫
C
3
L
(
x
,
y
)
+
∫
C
4
L
(
x
,
y
)
d
x
{\displaystyle =\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{3}}L(x,y)+\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx}
=
−
∫
a
b
[
L
(
x
,
g
2
(
x
)
)
]
d
x
+
∫
a
b
[
L
(
x
,
g
1
(
x
)
)
]
d
x
(
4
)
{\displaystyle =-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,dx+\int _{a}^{b}[L(x,g_{1}(x))]\,dx\qquad \mathrm {(4)} }
Kombinante (3) kun (4), oni ricevas na:
∫
C
L
(
x
,
y
)
d
x
=
∬
D
(
−
∂
L
∂
y
)
d
A
{\displaystyle \int _{C}L(x,y)\,dx=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA}
Simila pruvo povas esti farita por (2).
La teoremo de Green estas speciala kazo de la teoremo de Stokes , kiam aplikita al la xy-ebeno.
Konsideru du-dimensian kampon kiel tri-dimensian kampon, pri kiu z-komponanto en kartezia koordinato estas nula:
F
→
=
(
L
,
M
,
0
)
{\displaystyle {\vec {\mathbf {F} }}=(L,M,0)}
De la maldekstra termo de la teoremo de Green aplikita al tiu aparta kampo :
∮
C
(
L
d
x
+
M
d
y
)
=
∮
C
(
L
,
M
,
0
)
⋅
(
d
x
,
d
y
,
d
z
)
=
∮
C
F
→
⋅
d
r
→
.
{\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\oint _{C}(L,M,0)\cdot (dx,dy,dz)=\oint _{C}{\vec {\mathbf {F} }}\cdot d{\vec {\mathbf {r} }}.\ }
Kaj laŭ la teoremo de Kelvino-Stokes :
∮
C
F
→
⋅
d
r
→
=
∬
S
∇
×
F
→
⋅
n
→
d
S
,
{\displaystyle \oint _{C}{\vec {\mathbf {F} }}\cdot d{\vec {\mathbf {r} }}=\iint _{S}\nabla \times {\vec {\mathbf {F} }}\cdot {\vec {\mathbf {n} }}\,dS,\ }
kie
∇
{\displaystyle \nabla }
nabla operatoro uzita ĉi tie pri la kirlo .
Se la surfaco
S
{\displaystyle S}
D
{\displaystyle D}
n
→
{\displaystyle {\vec {\mathrm {n} }}}
unuobla vektoro normala al la surfaco kaj pozitive orientita laŭ la +z direkto, tial
n
→
=
k
→
{\displaystyle {\vec {\mathrm {n} }}={\vec {\mathrm {k} }}}
La esprimo inter la integralo iĝas :
∇
×
F
→
⋅
n
→
=
[
(
∂
0
∂
y
−
∂
M
∂
z
)
i
→
+
(
∂
L
∂
z
−
∂
0
∂
x
)
j
→
+
(
∂
M
∂
x
−
∂
L
∂
y
)
k
→
]
⋅
k
→
=
(
∂
M
∂
x
−
∂
L
∂
y
)
;
{\displaystyle \nabla \times {\vec {\mathbf {F} }}\cdot {\vec {\mathbf {n} }}=\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial z}}\right){\vec {\mathbf {i} }}+\left({\frac {\partial L}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right){\vec {\mathbf {j} }}+\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right){\vec {\mathbf {k} }}\right]\cdot {\vec {\mathbf {k} }}=\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right);\ }
fakte oni obtenas la dekstran termon de la teoremo de Stokes:
∬
S
∇
×
F
→
⋅
n
→
d
S
=
∬
D
(
∂
M
∂
x
−
∂
L
∂
y
)
d
A
.
{\displaystyle \iint _{S}\nabla \times {\vec {\mathbf {F} }}\cdot {\vec {\mathbf {n} }}\,dS=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA.\ }
![{\displaystyle =\int _{a}^{b}\!\!\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}\left[{\frac {\partial L}{\partial y}}(x,y)\,dy\,dx\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b0a65bd8112a357f0b795711ba070971724b3c)
![{\displaystyle =\int _{a}^{b}{\Big \{}L[x,g_{2}(x)]-L[x,g_{1}(x)]{\Big \}}\,dx\qquad \mathrm {(3)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df9a45c79f771967f1e13a2f79a90c115d864a09)
![{\displaystyle \int _{C_{1}}L(x,y)\,dx=\int _{a}^{b}{\Big \{}L[x,g_{1}(x)]{\Big \}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/661c301b3e8de383c9816b63449f8b985f56728b)
![{\displaystyle \int _{C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dd61291b902710db8e544ab93247ee4eb404731)
![{\displaystyle =-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,dx+\int _{a}^{b}[L(x,g_{1}(x))]\,dx\qquad \mathrm {(4)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3089e405a79f4e2ba2c62f7c1f2a6f072a5dd9d)
![{\displaystyle \nabla \times {\vec {\mathbf {F} }}\cdot {\vec {\mathbf {n} }}=\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial z}}\right){\vec {\mathbf {i} }}+\left({\frac {\partial L}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right){\vec {\mathbf {j} }}+\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right){\vec {\mathbf {k} }}\right]\cdot {\vec {\mathbf {k} }}=\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right);\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45ac4cfb99521f20eb23e1fa3b7823520d2504e2)
