El Vikipedio, la libera enciklopedio
Teoremo pri resto de polinomo estas teoremo de algebro pri ecoj de nuliganto de polinomoj .
Rimarku: en pola lingvo teoremo nomiĝas Teoremo de Bézout [prononco: Bezu]. Sed estas malkorekta nomo ĉar teoremo estis konata antaŭ de Étienne Bézout .
Nombro
a
{\displaystyle a}
estas nuliganto de polinomo
W
(
x
)
{\displaystyle W(x)}
tiam kaj nur tiam, kiam polinomo
W
(
x
)
{\displaystyle W(x)}
estas divitata per dunomo
(
x
−
a
)
{\displaystyle (x-a)}
, alinome:
W
(
a
)
=
0
⟺
(
x
−
a
)
|
W
(
x
)
{\displaystyle W(a)=0\iff (x-a)|W(x)}
Tute, valoro de polinomo
W
(
a
)
{\displaystyle W(a)}
estas egala de resto el divido de
W
(
x
)
{\displaystyle W(x)}
per dunomo
x
−
a
{\displaystyle x-a}
.
Se polinomo
W
(
x
)
{\displaystyle W(x)}
estas divida per
(
x
−
a
)
{\displaystyle (x-a)}
, ekzistas polinomo
V
(
x
)
{\displaystyle V(x)}
, kiu
W
(
x
)
=
V
(
x
)
⋅
(
x
−
a
)
{\displaystyle W(x)=V(x)\cdot (x-a)}
. Ĝia valoro en
a
{\displaystyle a}
estas:
W
(
a
)
=
V
(
a
)
⋅
(
a
−
a
)
=
V
(
a
)
⋅
0
=
0
{\displaystyle W(a)=V(a)\cdot (a-a)=V(a)\cdot 0=0}
.
Aŭ polinomo
W
(
x
)
{\displaystyle W(x)}
kiam dividas ĝin per polinomo de grado
n
{\displaystyle n}
donas polinomo
V
(
x
)
{\displaystyle V(x)}
kaj resto kun grado ne plu ol
n
−
1
{\displaystyle n-1}
, do
W
(
x
)
=
V
(
x
)
⋅
(
x
−
a
)
+
Z
(
x
)
{\displaystyle W(x)=V(x)\cdot (x-a)+Z(x)}
,
ĉar
(
x
−
a
)
{\displaystyle (x-a)}
estas polinomo de unua grado,
Z
(
x
)
{\displaystyle Z(x)}
estas polinomo de grado ne plu ol nulo, do ĝi estas kutime nombro
z
{\displaystyle z}
.
W
(
x
)
=
V
(
x
)
⋅
(
x
−
a
)
+
z
{\displaystyle W(x)=V(x)\cdot (x-a)+z}
ĉar valoro
W
(
x
)
{\displaystyle W(x)}
en
a
{\displaystyle a}
estas nulo, do
V
(
a
)
⋅
(
a
−
a
)
+
z
=
W
(
a
)
{\displaystyle V(a)\cdot (a-a)+z=W(a)}
V
(
a
)
⋅
(
a
−
a
)
+
z
=
0
{\displaystyle V(a)\cdot (a-a)+z=0}
V
(
a
)
⋅
0
+
z
=
0
{\displaystyle V(a)\cdot 0+z=0}
z
=
0
{\displaystyle z=0}
do
W
(
x
)
{\displaystyle W(x)}
dividiĝas per
(
x
−
a
)
{\displaystyle (x-a)}
sen resto, do
W
(
x
)
{\displaystyle W(x)}
estas dividebla per
(
x
−
a
)
{\displaystyle (x-a)}
.
Polinomo
W
(
x
)
=
x
3
−
12
x
2
−
42
{\displaystyle W(x)=x^{3}-12x^{2}-42}
, kiu dividiĝas per
x
−
3
{\displaystyle x-3}
estas
V
(
x
)
=
x
2
−
9
x
−
27
{\displaystyle V(x)=x^{2}-9x-27}
kaj resto
−
123
{\displaystyle -123}
. Do el teoremo estas, ke
W
(
3
)
=
−
123
{\displaystyle W(3)=-123}
.