Teoremo pri resto de polinomo

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

Teoremo pri resto de polinomo estas teoremo de algebro pri ecoj de nuliganto de polinomoj.

Rimarku: en pola lingvo teoremo nomiĝas Teoremo de Bézout [prononco: Bezu]. Sed estas malkorekta nomo ĉar teoremo estis konata antaŭ de Étienne Bézout.

Teoremo[redakti | redakti fonton]

Nombro a estas nuliganto de polinomo W(x) tiam kaj nur tiam, kiam polinomo W(x) estas divitata per dunomo (x-a), alinome:

W(a)=0 \iff (x-a)|W(x)

Tute, valoro de polinomo W(a) estas egala de resto el divido de W(x) per dunomo x-a.

Pruvo[redakti | redakti fonton]

Se polinomo W(x) estas divida per (x-a), ekzistas polinomo V(x), kiu W(x) = V(x)\cdot (x - a). Ĝia valoro en a estas:

W(a) = V(a) \cdot (a-a) = V(a) \cdot 0 = 0.

Aŭ polinomo W(x) kiam dividas ĝin per polinomo de grado n donas polinomo V(x) kaj resto kun grado ne plu ol n-1, do

W(x) = V(x) \cdot (x-a) + Z(x),

ĉar (x-a) estas polinomo de unua grado, Z(x) estas polinomo de grado ne plu ol nulo, do ĝi estas kutime nombro z.

W(x) = V(x) \cdot (x-a) + z

ĉar valoro W(x) en a estas nulo, do

V(a) \cdot (a-a) + z = W(a)
V(a) \cdot (a-a) + z = 0
V(a) \cdot 0 + z = 0
z=0

do W(x) dividiĝas per (x-a) sen resto, do W(x) estas dividebla per (x-a).

Ekzemplo[redakti | redakti fonton]

Polinomo W(x)=x^3 - 12x^2 - 42, kiu dividiĝas per x-3 estas V(x)=x^2 - 9x - 27 kaj resto -123. Do el teoremo estas, ke W(3)=-123.