Teorio de Landau

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

La teorio de Landau estas makroskopa teorio de faztransiro far Lev Landau. Ĝi kalkulas la kritajn eksponentojn de dua-orda faztransiroj el du aksiomoj:

  1. La libera energio de la sistemo estas analitika;
  2. La libera energio sekvas la simetriojn de la hamiltoniano.

Difino[redakti | redakti fonton]

Konsideru makroskopan sistemon kun faztransiro ĉe temperaturo T_0: la sistemo estas senorda ĉe T>T_0 kaj orda ĉe T<T_0. Elektu ordo-parametron m kiu

  • nulas ĉe T>T_0
  • ne nulas ĉe T<T_0.

Alivorte, m estas mezuro de la ordo de la sistemo.

La libera energio F de la sistemo (la helmholca libera energio se ni supozas la kanonan ensemblon) estas

\exp(-F\beta)=Z=\sum_i\exp(-E_i\beta).

Ni uzu la proksimumadon de la averaĝa kampo kaj supozu ke

Z(T,m)=\exp(-F_0(T))\int\operatorname D\!m\;\exp(-F_\mathrm{L}(T,m)).

Do ni uzu la selan proksumumadon

\int\operatorname D\!m\;\exp(-F_\mathrm{L}(T,m))\approx\exp(-F_\mathrm L(T,m_\min))

kie m_\min estas la minimumejo de F_\mathrm{L}(T,m). Do

A=F_0(T)+F_\mathrm L(T,m_\min).

Ni supozu ke F_\mathrm L(T,m) analitike dependas de T kaj m kaj sekvas la simetriojn de la sistemo. Do ni skribu la plej ĝeneralan analitikan serion por A_\mathrm L kaj solvu por m_\min.

Ekzemplo: Modelo de Ising[redakti | redakti fonton]

La modelo de Ising, kiu modelas magneton kun spinoj s_i=\pm1, havas faztransiron por du aŭ pli multaj dimensioj. La kutima ordo-parametro estas la magnetado M=\langle s\rangle, kiu estas averaĝo de la spinoj. La modelo de Ising estas simetria per la inversigo de ĉiuj spinoj, k.e. M\mapsto-M.

La esprimo por la libera energio F(M) estas do

F_\mathrm L(T,M)=\frac12a(T-T_0)M^2+\frac14bM^4+\cdots.

Observu ke ne ekzistas termo kun nepara eksponento de M (M, M^3, ktp.) ĉar la simetrio M\mapsto-M. Supozante ke a,b>0 kaj neglektante alta-ordajn termojn, la minimumejo de F estas

M_\min=\begin{cases}
0&\text{se }T\ge T_0\\
\pm\sqrt{a(T_0-T)/b}&\text{se }T\le T_0.
\end{cases}

La minimumo de F_\mathrm L estas

F_\mathrm L(T,M_\min)=\begin{cases}
0&\text{se }T\ge T_0\\
-a^2(T-T_0)^2/4b&\text{se }T\le T_0.
\end{cases}

Ni vidas ke:

  • Ekzistas faztransiro ĉe T=T_0. La faztransiro estad dua-orda: la ordo de la faztransiro estas minimuma la eksponento n tia ke (\partial/\partial T)^nF ne kontinuas.
  • Sub T_0, la simetrio M\to-M spontanee rompiĝas, ĉar M_\min\ne0.
  • La krita eksponento \beta estas la eksponento tia ke M\propto(T-T_0)^\beta sub la faztransira temperaturo. La teorio de Landau prognozas ke \beta=1/2. (Fakte, \beta\approx1/3.)

Referencoj[redakti | redakti fonton]