Teorio de Landau

La teorio de Landau estas makroskopa teorio de faztransiro far Lev Landau. Ĝi kalkulas la kritajn eksponentojn de dua-orda faztransiroj el du aksiomoj:

La libera energio de la sistemo estas analitika;
La libera energio sekvas la simetriojn de la hamiltoniano.

Difino[redakti]

Konsideru makroskopan sistemon kun faztransiro ĉe temperaturo $T_0$ : la sistemo estas senorda ĉe $T>T_0$ kaj orda ĉe $T<T_0$ . Elektu ordo-parametron $m$ kiu

nulas ĉe $T>T_0$
ne nulas ĉe $T<T_0$ .

Alivorte, $m$ estas mezuro de la ordo de la sistemo.

La libera energio $F$ de la sistemo (la helmholca libera energio se ni supozas la kanonan ensemblon) estas

$\exp(-F\beta)=Z=\sum_i\exp(-E_i\beta)$ .

Ni uzu la proksimumadon de la averaĝa kampo kaj supozu ke

$Z(T,m)=\exp(-F_0(T))\int\operatorname D\!m\;\exp(-F_\mathrm{L}(T,m))$ .

Do ni uzu la selan proksumumadon

$\int\operatorname D\!m\;\exp(-F_\mathrm{L}(T,m))\approx\exp(-F_\mathrm L(T,m_\min))$

kie $m_\min$ estas la minimumejo de $F_\mathrm{L}(T,m)$ . Do

$A=F_0(T)+F_\mathrm L(T,m_\min)$ .

Ni supozu ke $F_\mathrm L(T,m)$ analitike dependas de $T$ kaj $m$ kaj sekvas la simetriojn de la sistemo. Do ni skribu la plej ĝeneralan analitikan serion por $A_\mathrm L$ kaj solvu por $m_\min$ .

Ekzemplo: Modelo de Ising[redakti]

La modelo de Ising, kiu modelas magneton kun spinoj $s_i=\pm1$ , havas faztransiron por du aŭ pli multaj dimensioj. La kutima ordo-parametro estas la magnetado $M=\langle s\rangle$ , kiu estas averaĝo de la spinoj. La modelo de Ising estas simetria per la inversigo de ĉiuj spinoj, k.e. $M\mapsto-M$ .

La esprimo por la libera energio $F(M)$ estas do

$F_\mathrm L(T,M)=\frac12a(T-T_0)M^2+\frac14bM^4+\cdots$ .

Observu ke ne ekzistas termo kun nepara eksponento de $M$ ( $M$ , $M^3$ , ktp.) ĉar la simetrio $M\mapsto-M$ . Supozante ke $a,b>0$ kaj neglektante alta-ordajn termojn, la minimumejo de $F$ estas

$M_\min=\begin{cases} 0&\text{se }T\ge T_0\\ \pm\sqrt{a(T_0-T)/b}&\text{se }T\le T_0. \end{cases}$

La minimumo de $F_\mathrm L$ estas

$F_\mathrm L(T,M_\min)=\begin{cases} 0&\text{se }T\ge T_0\\ -a^2(T-T_0)^2/4b&\text{se }T\le T_0. \end{cases}$

Ni vidas ke:

Ekzistas faztransiro ĉe $T=T_0$ . La faztransiro estad dua-orda: la ordo de la faztransiro estas minimuma la eksponento $n$ tia ke $(\partial/\partial T)^nF$ ne kontinuas.
Sub $T_0$ , la simetrio $M\to-M$ spontanee rompiĝas, ĉar $M_\min\ne0$ .
La krita eksponento $\beta$ estas la eksponento tia ke $M\propto(T-T_0)^\beta$ sub la faztransira temperaturo. La teorio de Landau prognozas ke $\beta=1/2$ . (Fakte, $\beta\approx1/3$ .)