Teorio de Landau

La teorio de Landau estas makroskopa teorio de faztransiro far Lev Landau. Ĝi kalkulas la kritajn eksponentojn de dua-orda faztransiroj el du aksiomoj:

La libera energio de la sistemo estas analitika;
La libera energio sekvas la simetriojn de la hamiltoniano.

Difino[redakti | redakti fonton]

Konsideru makroskopan sistemon kun faztransiro ĉe temperaturo $T_{0}$ : la sistemo estas senorda ĉe $T>T_{0}$ kaj orda ĉe $T<T_{0}$ . Elektu ordo-parametron $m$ kiu

nulas ĉe $T>T_{0}$
ne nulas ĉe $T<T_{0}$ .

Alivorte, $m$ estas mezuro de la ordo de la sistemo.

La libera energio $F$ de la sistemo (la helmholca libera energio se ni supozas la kanonan ensemblon) estas

\exp(-F\beta )=Z=\sum _{i}\exp(-E_{i}\beta )

.

Ni uzu la proksimumadon de la averaĝa kampo kaj supozu ke

Z(T,m)=\exp(-F_{0}(T))\int \operatorname {D} \!m\;\exp(-F_{\mathrm {L} }(T,m))

.

Do ni uzu la selan proksumumadon

\int \operatorname {D} \!m\;\exp(-F_{\mathrm {L} }(T,m))\approx \exp(-F_{\mathrm {L} }(T,m_{\min }))

kie $m_{\min }$ estas la minimumejo de $F_{\mathrm {L} }(T,m)$ . Do

A=F_{0}(T)+F_{\mathrm {L} }(T,m_{\min })

.

Ni supozu ke $F_{\mathrm {L} }(T,m)$ analitike dependas de $T$ kaj $m$ kaj sekvas la simetriojn de la sistemo. Do ni skribu la plej ĝeneralan analitikan serion por $A_{\mathrm {L} }$ kaj solvu por $m_{\min }$ .

Ekzemplo: Modelo de Ising[redakti | redakti fonton]

La modelo de Ising, kiu modelas magneton kun spinoj $s_{i}=\pm 1$ , havas faztransiron por du aŭ pli multaj dimensioj. La kutima ordo-parametro estas la magnetado $M=\langle s\rangle$ , kiu estas averaĝo de la spinoj. La modelo de Ising estas simetria per la inversigo de ĉiuj spinoj, k.e. $M\mapsto -M$ .

La esprimo por la libera energio $F(M)$ estas do

F_{\mathrm {L} }(T,M)={\frac {1}{2}}a(T-T_{0})M^{2}+{\frac {1}{4}}bM^{4}+\cdots

.

Observu ke ne ekzistas termo kun nepara eksponento de $M$ ( $M$ , $M^{3}$ , ktp.) ĉar la simetrio $M\mapsto -M$ . Supozante ke $a,b>0$ kaj neglektante alta-ordajn termojn, la minimumejo de $F$ estas

M_{\min }={\begin{cases}0&{\text{se }}T\geq T_{0}\\\pm {\sqrt {a(T_{0}-T)/b}}&{\text{se }}T\leq T_{0}.\end{cases}}

La minimumo de $F_{\mathrm {L} }$ estas

F_{\mathrm {L} }(T,M_{\min })={\begin{cases}0&{\text{se }}T\geq T_{0}\\-a^{2}(T-T_{0})^{2}/4b&{\text{se }}T\leq T_{0}.\end{cases}}

Ni vidas ke:

Ekzistas faztransiro ĉe $T=T_{0}$ . La faztransiro estad dua-orda: la ordo de la faztransiro estas minimuma la eksponento $n$ tia ke $(\partial /\partial T)^{n}F$ ne kontinuas.
Sub $T_{0}$ , la simetrio $M\to -M$ spontanee rompiĝas, ĉar $M_{\min }\neq 0$ .
La krita eksponento $\beta$ estas la eksponento tia ke $M\propto (T-T_{0})^{\beta }$ sub la faztransira temperaturo. La teorio de Landau prognozas ke $\beta =1/2$ . (Fakte, $\beta \approx 1/3$ .)