Tordeco de kurbo

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En diferenciala geometrio de kurboj en tri dimensioj, la tordeco de kurbo estas mezuro de tio kiel akre ĝi estas tordanta.

Konsiderataj kune, la kurbeco kaj la tordeco de neebena kurbo estas analoga al la kurbeco de ebena kurbo. Ekzemple, ili estas koeficientoj en la sistemo de diferencialaj ekvacioj por la kadro de Frenet donita per la formuloj de Frenet-Serret.

Difino[redakti | redakti fonton]

Estu C esti neebena kurbo en unuoblo-longa (aŭ natura) parametrigo kaj kun la unuobla tanĝanta vektoro t. Se la kurbeco \kappa de C je certa punkto estas ne nulo tiam la ĉefa normala vektoro kaj la dunormala vektoro je la punkto estas la unuoblaj vektoroj

 \mathbf{n}=\frac{\mathbf{t}'}{\kappa}, \quad \mathbf{b}=\mathbf{t}\times\mathbf{n}.

La tordeco \tau mezuras la rapidon de turnado de la dunormala vektoro je la donita punkto. Ĝi estas donita per ekvacio

 \mathbf{b}' = -\tau\mathbf{n}

kaj do

 \tau = -\mathbf{n}\cdot\mathbf{b}'.

La derivaĵo de la dunormala vektoro estas perpendikulara al ambaŭ la dunormala vektoro mem kaj al la tanĝanto, de ĉi tie ĝi estas paralela al la ĉefa normala vektoro. La negativa signo estas simple konvencio, ĝi estas pro la historia evoluo de la subjekto.

Komputado[redakti | redakti fonton]

Estu r = r(t) la regula parametrigo de neebena kurbo. Estu la kurbeco de la kurbo ne nulo. Analitike, r(t) estas trifoje diferencialebla funkcio de t kun valoroj en R3 kaj la vektoroj

 \mathbf{r'}(t), \mathbf{r''}(t)

estas lineare sendependaj.

Tiam la tordeco povas esti komputita jene:

\tau = {{\det \left( {r',r'',r'''} \right)} \over {\left\| {r' \times r''} \right\|^2}} = {{\left( {r' \times r''} \right)\cdot r'''} \over {\left\| {r' \times r''} \right\|^2}}.

Ĉi tie la apostrofoj signifas derivaĵojn kun respekto al t kaj la kruco signifas la vektoran produton. Por r = (x, y, z), la formulo en komponantoj estas

 \tau = \frac{x'''(y'z''-y''z') + y'''(x''z'-x'z'') + z'''(x'y''-x''y')}{(y'z''-y''z')^2 + (x''z'-x'z'')^2 + (x'y''-x''y')^2}.

Propraĵoj[redakti | redakti fonton]

  • La kurbeco kaj la tordeco de helico estas konstanto. Male, ĉiu neebena kurbo kun konstantaj nenulaj kurbeco kaj tordeco estas helico. La tordeco estas pozitiva por dekstra helico kaj negativa por maldekstra helico.
  • Ebena kurbo kun ne nulo kurbeco havas ĉie nulan tordecon. Male, se la tordeco de regula kurbo estas idente nulo tiam ĉi tiu kurbo apartenas al iu fiksita ebeno.