Triangulo de Herono

En geometrio, triangulo de Herono estas triangulo kies longoj de ĉiuj lateroj kaj areo estas racionalaj nombroj. Ĝi estas nomita pro Herono de Aleksandrio.

Ĉiu triangulo kies longoj de lateroj estas pitagora triopo estas triangulo de Herono, kiel longoj de lateroj de ĉi tia triangulo estas entjeroj, kaj ĝia areo estas entjero ĉar ĝi estas duono de produto de longoj de la katetoj, almenaŭ unu kies estas para.

Triangulo kun longoj de lateroj c, e kaj b+d, kaj alto a.

Por konstrui triangulon de Herono kiu ne estas orta oni prenas pitagorajn triopojn (a, b, c), kie c estas longo de la hipotenuzo, la plej granda, kaj (a, d, e), kie e estas longo de la hipotenuzo. Poste oni konstruas la triangulojn kun ĉi tiuj longoj de lateroj, kaj kunigi ilin kune laŭ la lateroj de longo a, por ricevi triangulon kun entjeraj longoj de lateroj c, e, kaj b + d kaj kun racionala areo

$A={\frac {1}{2}}(b+d)a$ (duono de produto de longoj de la bazo kaj la alto).

Ekzemplo de triangulo de Herono kiu estas ne orta estas tiu kun longoj de lateroj 5, 5 kaj 6, kies areo estas 12. Ĉi tiu triangulo estas ricevita per kunigo de du kopioj de orta triangulo kun longoj de lateroj 3, 4, kaj 5 laŭ la lateroj de longo 4. Do, ĉi tie estas a=4, b=3, c=5, d=3, e=5.

Ne ĉi triangulo de Herono povas esti ricevita per ĉi tia maniero. Sed ĉiu triangulo de Herono povas esti kontruita per konstruo de certa alia triangulo de Herono per ĉi tia maniero kaj posta skaligo kun racionala skalo.

Ekzemple triangulo kun longoj de lateroj 1/2, 1/2, 3/5 kaj areo 3/25 estas triangulo (5, 5, 6) skalita je skalo 1/10, do 10 foje malpligrandigita.

Ankaŭ triangulo kun longoj de lateroj 5, 29, 30 kaj areo 72 ne povas esti tiel malkomponigita, ĉar neniu el ĝiaj altoj estas entjera. Tamen ĝia 5 foje pli granda analogo, kun longoj de lateroj 25, 145, 150 kaj areo 1800 havas alton de longo 24 al la latero de longo 150, kaj por ĝi a=24, b=143, c=145, d=7, e=25. Do la fonta triangulo povas esti ricevita per skaligo je 1/5.

Se oni permesas por pitagoraj triopoj havi racionalajn ne nepre entjerajn elementojn, tiam ĉiu triangulo de Herono povas esti ricevita per ĉi tia maniero

Teoremo

Por ĉiu donita triangulo de Herono, oni disdividu ĝin en du ortajn triangulojn, kies longoj de lateroj formas pitagorajn triopojn kun racionalaj elementoj.

Pruvo de la teoremo

Konsideru denove la ilustraĵon dekstre, kie komence estas sciate ke c, e, b+d, kaj la triangula areo A estas racionalaj. Oni povas supozi ke la skribmaniero estis elektita tiel ke la longo de latero b+d estas la plej granda, do la alto al ĉi tiu latero de la kontraŭa vertico falas ene de ĉi tiu segmento. Por montri ke la triopoj (a, b, c) kaj (a, d, e) estas pitagoraj, oni devas pruvi ke a, b, kaj d estas racionalaj.

Pro tio ke la triangula areo estas

$A={\frac {1}{2}}(b+d)a$

oni povas solvi por a kaj trovi ke

$a={\frac {2A}{b+d}}$

kaj do a estas racionala, ĉar ĉiuj nombroj en dekstra flanko estas racionalaj. Restas montri ke b kaj d estas racionalaj.

De la teoremo de Pitagoro aplikita al la du ortaj trianguloj, rezultiĝas

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ,

kaj

$a^{2}+d^{2}=e^{2}$ .

Unu povas subtrahi ĉi tiujn du, kaj do

$b^{2}-d^{2}=c^{2}-e^{2}$ ,

aŭ

$(b-d)(b+d)=c^{2}-e^{2}$ ,

aŭ

$b-d={\frac {c^{2}-e^{2}}{b+d}}$ .

La dekstra flanko estas racionala ĉar c, e, kaj b+d estas racionalaj. Tiam, b-d estas racionala. Pro tio ke

$b={\frac {(b+d)+(b-d)}{2}}$ kaj

$d={\frac {(b+d)+(b-d)}{2}}$

ankaŭ b kaj d estas racionalaj.