Uniforma pluredro

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

Uniforma pluredro estas uniforma hiperpluredro, 3-dimensia pluredro kiu havas regulaj plurlateroj kiel edroj kaj estas vertico-transitiva. Ĉiuj ĝiaj verticoj estas kongruaj, kaj la pluredro havas altan gradon de reflekta kaj turna simetrio.

Uniformaj pluredroj povas esti regula, kvazaŭreguladuonregula. La edroj kaj verticoj ne nepre esta konveksaj, inter uniformaj pluredroj estas ankaŭ stelaj pluredroj.

Malinkluzivante la malfiniajn arojn estas 75 uniformaj pluredroj (aŭ 76 se al lateroj estas permesite koincidi).

La kategorioj inkluzivas:

Ili povas ankaŭ esti grupita per ilia geometria simetria grupo, kio estas farita pli sube.

Historio[redakti | redakti fonton]

  • La platonaj solidoj estas konataj ekde la klasikaj grekoj kaj estis studitaj de Platono, Theaetetus kaj Eŭklido.
  • Keplero (1571-1630) estis la unua kiu publikigis la plenan liston de arĥimedaj solidoj post kiam la originala laboro de Arkimedo estis perdita.
  • Keplero (1619) esploris du de la regulajn pluredroj de Keplero-Poinsot kaj Louita Poinsot (1809) esplorita la aliajn du.
  • De la ceteraj 37 estis trovitaj de Badoureau (1881). Edmund Hess (1878) esploris 2 pliajn kaj Pitsch (1881) sendepende esploris 18-n, el ili ne ĉiuj antaŭe esplorita.
  • Harold Scott MacDonald Coxeter esploris la ceterajn dek du en kunlaboro kun J.C.P. Miller (1930-1932) sed ne publikigis la laboron. M.S. kaj H.C. Longuet-Higgins sendepende esploris 11-n el ĉi tiuj.
  • En 1954 H.S.M. Coxeter, M.S. Longuet-Higgins, J.C.P. Miller publikigis la liston de uniformaj pluredroj.
  • En 1970 S. P. Sopov pruvis ilia konjekton ke la listo estis plena.
  • En 1974, Magnus Wenninger publikigis lian libron, Pluredraj modeloj, kiu estas la unua publikigita listo de ĉiuj 75 neprismaj uniformaj pluredroj, kun multaj antaŭe nepublikigitaj nomoj donitaj al ili de Norman Johnson.
  • En 1975, John Skilling sendepende pruvis la plenecon, kaj montris ke se la difino de uniforma pluredro estas malstreĉiĝita al permesi al randoj koincidi tiam estas nur unu superflua ebleco.
  • En 1993, Zvi Har'El produktis plenan komputilan konstruadon de la uniformaj pluredroj kaj dualaj tra ilia kalejdoskopa konstrua programo nomata kiel Kaleido, kaj resumis en papero Uniforma solvaĵo por uniformaj pluredroj., donante al ili numerojn 1-80.
  • Ankaŭ en 1993, R. Mäder aplikis solvaĵon de ĉi tiu Kaleido al Mathematica kun malmulte malsama indeksanta sistemo.

Indeksado[redakti | redakti fonton]

Estas kvar gravaj publikaĵoj indeksantaj la pluredrojn. Por distingi ilin, al la indeksoj estas aldonataj malsamaj literoj, C por la Coxeter 1954, W por la Wenninger 1974 , K por la Kaleido 1993, kaj U por la 1993 Maeder, kiu estas (mult)amplekse reproduktita aliloke. Nun U estas la plej kutima indeksado de la pluredroj.

  1. [C] 1954: Ĉi tiu papero listigas la uniformaj pluredroj per nombroj 15-92. 15-32 estas por la konveksaj, 33-35 por 3 malfiniaj prismaj aroj, kaj 36-92 por la nekonveksaj.
  2. [W] 1974: nombris ilin 1-119: 1-5 por la platonaj solidoj, 6-18 por la arĥimedaj solidoj, 19-66 por steligitaj formoj inkluzivante la 4 regulaj nekonveksaj pluredroj (sed plejparto de la steligitaj pluredroj estas neuniformaj), kaj 67-119 por la nekonveksaj uniformaj pluredroj. (La plenan liston de Wi rigardu en listo de pluredroj de Wenninger)
  3. [K] 1993 Kaleido: La 80 nombroj donitaj estis grupita per simetrio: 1-5 kiel prezentantoj por la malfiniaj familioj de prismaj formoj kun duedra simetrio, 6-9 kun kvaredra simetrio, 10-26 kun Okedra simetrio, 46-80 kun dudekedra simetrio.
  4. [U] 1993 Mathematica: Ĉi tiu listante sekvis la nombradon de Kaleido, sed movis la 5 prismajn formojn al fino de la listo, kaj la neprismaj havas numerojn 1-75.

Konveksaj formoj kaj fundamentaj situoj de verticoj[redakti | redakti fonton]

La konveksaj uniformaj pluredroj povas esti nomitaj per operacioj de konstruo de Wythoff sur la gepatra formo.

Ĉiu de ĉi tiuj konveksaj formoj difinas aron de verticoj kiuj povas esti uzataj ankaŭ por la nekonveksaj formoj, listigitaj en la sekva sekcio.

Gepatra Senpintigita Rektigita Dutranĉita
(senpintigita dualo)
Durektigita
(duala)
Laterotranĉita Entutotranĉita Riproĉa
Etendita
simbolo de Schläfli
\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix} t\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} t\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix} r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}
t0{p,q} t0,1{p,q} t1{p,q} t1,2{p,q} t2{p,q} t0,2{p,q} t0,1,2{p,q} s{p,q}
Simbolo de Wythoff
p-q-2
q | p 2 2 q | p 2 | p q 2 p | q p | q 2 p q | 2 p q 2 | | p q 2
Figuro de Coxeter-Dynkin
(variadoj)
(o)poqo (o)p(o)qo op(o)qo op(o)q(o) opoq(o) (o)poq(o) (o)p(o)q(o) ( )p( )q( )
(o)-p-o-q-o (o)-p-(o)-q-o o-p-(o)-q-o o-p-(o)-q-(o) o-p-o-q-(o) (o)-p-o-q-(o) (o)-p-(o)-q-(o) ( )-p-( )-q-( )
xPoQo xPxQo oPxQo oPxQx oPoQx xPoQx xPxQx sPsQs
[p,q]:001 [p,q]:011 [p,q]:010 [p,q]:110 [p,q]:100 [p,q]:101 [p,q]:111 [p,q]:111s
Vertica konfiguro pq (q.2p.2p) (p.q.p.q) (p.2q.2q) qp (p.4.q.4) (4.2p.2q) (3.3.p.3.q)
Kvaredra
3-3-2
Uniform polyhedron-33-t0.png
{3,3}
Uniform polyhedron-33-t01.png
(3.6.6)
Uniform polyhedron-33-t1.png
(3.3.3.3)
Uniform polyhedron-33-t12.png
(3.6.6)
Uniform polyhedron-33-t2.png
{3,3}
Uniform polyhedron-33-t02.png
(3.4.3.4)
Uniform polyhedron-33-t012.png
(4.6.6)
Uniform polyhedron-33-s012.png
(3.3.3.3.3)
Okedra
4-3-2
Uniform polyhedron-43-t0.png
{4,3}
Uniform polyhedron-43-t01.png
(3.8.8)
Uniform polyhedron-43-t1.png
(3.4.3.4)
Uniform polyhedron-43-t12.png
(4.6.6)
Uniform polyhedron-43-t2.png
{3,4}
Uniform polyhedron-43-t02.png
(3.4.4.4)
Uniform polyhedron-43-t012.png
(4.6.8)
Uniform polyhedron-43-s012.png
(3.3.3.3.4)
Dudekedra
5-3-2
Uniform polyhedron-53-t0.png
{5,3}
Uniform polyhedron-53-t01.png
(3.10.10)
Uniform polyhedron-53-t1.png
(3.5.3.5)
Uniform polyhedron-53-t12.png
(5.6.6)
Uniform polyhedron-53-t2.png
{3,5}
Uniform polyhedron-53-t02.png
(3.4.5.4)
Uniform polyhedron-53-t012.png
(4.6.10)
Uniform polyhedron-53-s012.png
(3.3.3.3.5)
Duedra
p-2-2
Ekzemple p=5
{5,2} 2.10.10 2.5.2.5 Pentagonal prism.png
4.4.5
{2,5} 2.4.5.4 Decagonal prism.png
4.4.10
Pentagonal antiprism.png
3.3.3.5

Difino de operacioj[redakti | redakti fonton]

Operacio Etendita
simbolo de Schläfli
Figuro de
Coxeter-Dynkin
Priskribo
Gepatro t0{p,q} \begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix} 100 Ĉiu regula pluredro aŭ kahelaro
Rektigita t1{p,q} \begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} 010 La randoj estas plene-senpintigitaj en solajn punktojn. La pluredro nun havas la kombinitajn edrojn de la gepatro kaj la dualo.
Durektigita
ankaŭ Duala
t2{p,q} \begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix} 001
Dual Cube-Octahedron.svg
La durektigita (duala) estas plua tranĉo tiel ke la originalaj edroj estas reduktitaj al punktoj. Novaj edroj estas formitaj sub ĉiu gepatra vertico. La nombro de randoj estas neŝanĝita kaj estas turnita je 90 gradoj. La duala de la regula pluredro {p, q} estas ankaŭ regula pluredro {q, p}.
Senpintigita t0,1{p,q} t\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix} 110 Ĉiu originala vertico estas dehakita, kun novaj edroj enspacas la truojn. Tranĉo havas gradon de libereco, kiu havas unu solvaĵo kiu kreas uniforman senpintigitan pluredron. La pluredro havas ĝiaj originalaj edroj kun duobligita kvanto de lateroj en ĉiu el la edroj, kaj enhavas la edrojn de la duala.
Trancho de kubo.svg
Dutranĉita t1,2{p,q} t\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix} 011 Sama kiel senpintigita duala.
Laterotranĉita
(aŭ rombigita)
(ankaŭ elvolvita)
t0,2{p,q} r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} 101 Aldone al vertica tranĉo, ĉiu originala rando estas bevelita kun novaj rektangulaj edroj aperantaj en ĝia loko, kaj ankaŭ la originalaj verticoj estas senpintigitaj. Uniforma laterotranĉo estas duonvoje inter la gepatra kaj la duala formoj.
Latervertictrancho de kubo.svg
Entutotranĉita
(aŭ rombotranĉita)
t0,1,2{p,q} t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} 111 La tranĉaj operacioj estas aplikitaj por krei entutotranĉitan formon kiu havas la gepatraj edroj kun duobligita kvanto de lateroj en ĉiu el la edroj, kaj kvadratojn tie kie la originalaj randoj ekzistis.
Riproĉa s{p,q} s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} ()()() La riproĉa prenas la entutotranĉitan formon kaj rektigas alternajn verticojn. Ĉi tiu operacio estas nur ebla por pluredroj kun ĉiuj edroj kun paraj kvantoj de verticoj. Ĉiuj originalaj edroj havas nur duonon de verticoj, kaj la kvadratoj degeneras en laterojn. Ĉar la entutotranĉita havas 3 edrojn/vertico, novaj trianguloj estas formitaj. Kutime poste necesas malmulte misformigi la pluredron por ke ĝi denove estu uniforma. La ebleco de la lasta variado dependas de la grado de libereco.
Riprochigo de kubo.svg

Nekonveksaj formoj listitaj laŭ geometriaj simetriaj grupoj kaj situoj de verticoj[redakti | redakti fonton]

Ĉiuj uniformaj pluredroj estas listita pli sube laŭ iliaj geometriaj simetriaj grupoj kaj subgrupitaj laŭ iliaj situoj de verticoj.

Regulaj pluredroj estas markitaj per iliaj simboloj de Schläfli. Aliaj neregulaj uniformaj pluredroj estas listitaj kun iliaj verticaj konfiguroj aŭ ilia uniformaj pluredraj indeksoj U(1-80).

Noto: por nekonveksaj formoj pli sube estas aldonita komento neuniforma se la konveksa koverto de la situo de verticoj havas sama topologio kiel unu el uniformaj pluredroj, sed havas neregulajn edrojn. Ekzemple neuniforma laterotranĉita formo povas havi nekvadratajn ortangulojn kiel edroj.

Kvaredra simetrio[redakti | redakti fonton]

Estas 2 konveksaj uniformaj pluredroj, la kvaredro kaj senpintigita kvaredro, kaj unu nekonveksa formo, la kvar-duon-sesedro kiu havi kvaredran simetrion. La kvaredro estas mem duala.

Aldone la okedro, senpintigita okedro, kubokedro, kaj dudekedro havas kvaredran simetrion kaj ankaŭ pli altan simetrion. Ili estas aldonitaj por pleneco pli sube, kvankam iliaj nekonveksaj formoj kun okedra simetrio ne estas inkluzivitaj ĉi tie.

Vertica grupo Konveksa Nekonveksa
(Kvaredra) Tetrahedron.png
{3,3}
Senpintigita (*) Truncated tetrahedron.png
(3.6.6)
Rektigita (*) Rectified tetrahedron.png
{3,4}
Tetrahemihexahedron.png
(4.3/2.4.3)
Laterotranĉita (*) Cantellated tetrahedron.png
(3.4.3.4)
Entutotranĉita (*) Omnitruncated tetrahedron.png
(4.6.6)
Riproĉa (*) Snub tetrahedron.png
{3,5}

Okedra simetrio[redakti | redakti fonton]

Estas 8 konveksa formoj kaj 10 nekonveksaj formoj kun okedra simetrio.

Vertica grupo Konveksa Nekonveksa
(Okedra) Octahedron.png
{3,4}
Senpintigis (*) Truncated octahedron.png
(4.6.6)
Rektigita (*) Cuboctahedron.png
(3.4.3.4)
Cubohemioctahedron.png
(6.4/3.6.4)
Octahemioctahedron.png
(6.3/2.6.3)
Senpintigita duala (*) Truncated hexahedron.png
(3.8.8)
Great rhombihexahedron.png
(4.8/3.4/3.8/5)
Great cubicuboctahedron.png
(8/3.3.8/3.4)
Uniform great rhombicuboctahedron.png
(4.3/2.4.4)
Duala (*) Hexahedron.png
{4,3}
Laterotranĉita (*) Small rhombicuboctahedron.png
(3.4.4.4)
Small rhombihexahedron.png
(4.8.4/3.8)
Small cubicuboctahedron.png
(8.3/2.8.4)
Stellated truncated hexahedron.png
(8/3.8/3.3)
Entutotranĉita (*) Great rhombicuboctahedron.png
(4.6.8)
Neuniforma entutotranĉita (*) (4.6.8) Great truncated cuboctahedron.png
(8/3.4.6)
Cubitruncated cuboctahedron.png
(8/3.6.8)
Riproĉa (*) Snub hexahedron.png
(3.3.3.3.4)

Dudekedra simetrio[redakti | redakti fonton]

Estas 8 konveksa formoj kaj 46 nekonveksaj formoj kun dudekedra simetrio (aŭ 47 nekonveksa formoj se figuro de Skilling estas inkluzivita). Iu el la nekonveksa riproĉaj formoj havas neuniforman turnecan simetrion, kaj iu estas memspegulsimetriaj.

Vertica grupo Konveksa Nekonveksa
(Dudekedra) Icosahedron.png
{3,5}
Small stellated dodecahedron.png
{5/2,5}
Great dodecahedron.png
{5,5/2}
Great icosahedron.png
{3,5/2}
Senpintigita (*) Truncated icosahedron.png
(5.6.6)
Neuniforma senpintigita (*) (5.6.6) Great truncated dodecahedron.png
U37
Great dodecicosidodecahedron.png
U61
Uniform great rhombicosidodecahedron.png
U67
Great rhombidodecahedron.png
U73
Rhombidodecadodecahedron.png
U38
Icosidodecadodecahedron.png
U44
Rhombicosahedron.png
U56
Small snub icosicosidodecahedron.png
U32
Rektigita (*) Icosidodecaëder.png
(3.5.3.5)
Small icosihemidodecahedron.png
U49
Small dodecahemidodecahedron.png
U51
Great icosidodecahedron.png
U54
Great dodecahemidodecahedron.png
U70
Great icosihemidodecahedron.png
U71
Dodecadodecahedron.png
U36
Small dodecahemicosahedron.png
U62
Great dodecahemicosahedron.png
U65
Senpintigita duala (*) Truncated dodecahedron.png
(3.10.10)
Great ditrigonal dodecicosidodecahedron.png
U42
Great icosicosidodecahedron.png
U48
Great dodecicosahedron.png
U63
Neuniforma senpintigita duala (*) (3.10.10) Small retrosnub icosicosidodecahedron.png
U72
Duala (*) Dodecahedron.png
{5,3}
Great stellated dodecahedron.png
{5/2,3}
Small ditrigonal icosidodecahedron.png
U30
Ditrigonal dodecadodecahedron.png
U41
Great ditrigonal icosidodecahedron.png
U47
Laterotranĉita (*) Small rhombicosidodecahedron.png
(3.4.5.4)
Small dodecicosidodecahedron.png
U33
Small rhombidodecahedron.png
U39
Small stellated truncated dodecahedron.png
U58
Neuniforma laterotranĉita (*) (3.4.5.4) Small icosicosidodecahedron.png
U31
Small ditrigonal dodecicosidodecahedron.png
U43
Small dodecicosahedron.png
U50
Great stellated truncated dodecahedron.png
U66
Great truncated icosahedron.png
U55
Great dirhombicosidodecahedron.png
U75
Great snub dodecicosidodecahedron.png
U64
Entutotranĉita (*) Great rhombicosidodecahedron.png
(4.6.10)
Neuniforma entutotranĉita (*) (4.6.10) Great truncated icosidodecahedron.png
U68
Truncated dodecadodecahedron.png
U59
Icositruncated dodecadodecahedron.png
U45
Riproĉa (*) Snub dodecahedron ccw.png
(3.3.3.3.5)
Neuniforma riproĉa (*) (3.3.3.3.5) Snub dodecadodecahedron.png
U40
Snub icosidodecadodecahedron.png
U46
Great snub icosidodecahedron.png
U57
Great inverted snub icosidodecahedron.png
U69
Inverted snub dodecadodecahedron.png
U60
Great retrosnub icosidodecahedron.png
U74

Duedra simetrio[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Prisma uniforma pluredro.

Uniformaj pluredroj kun duedra simetrio estadas de jenaj specoj:

Dodecagonal prism.png Dodecagonal antiprism.png Prism 12-5.png Antiprism 12-5.png Pentagrammic crossed antiprism.png
Konveksa prismo Konveksa kontraŭprismo Stela prismo Stela kontraŭprismo (kun konveksa vertica figuro) Stela krucigita kontraŭprismo (kun nekonveksa vertica figuro)
U76 U77 U78 U79 U80

Ekzistas malfinie multaj uniformaj pluredroj de ĉiu el la 5 specoj, diferenciĝantaj per kvanto de verticoj aŭ per maniero de konekseco de la steloj.

Figuro de Skilling[redakti | redakti fonton]

Unu plua nekonveksa pluredro estas la granda duriproĉa durombo-dekduedro, ankaŭ sciata kiel figuro de Skilling, kiu estas vertico-uniforma, sed havas parojn de lateroj kiu koincidas en spaco tiel ke kvar edroj kuniĝas je ĉi tiuj lateroj.

Ĝi estas iam sed ne ĉiam enkalkulita kiel uniforma pluredro. Ĝi havas Ih simetrion.

Great disnub dirhombidodecahedron.png

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Referencoj[redakti | redakti fonton]

  • Brückner, M. Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte.. Leipzig, Germanio: Teubner, 1900. [1]
  • H.S.M. Coxeter, M.S. Longuet-Higgins, J.C.P. Miller, Uniformaj pluredroj, Phil. Trans. 1954, 246 A, 401-50 [2]
  • S. P. Sopov Pruvo de la pleneco de la listo de rudimentaj homogenaj pluredroj. Ukrain. Geometr. Sb. Ne. 8, (1970), 139-156
  • Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models - Pluredraj modeloj. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9.
  • John Skilling, La plenumi aro de uniformaj pluredroj., Filoj de Aleksandrio. Trans. Roy. Soc. Londono Ser. 278 (1975), 111-135 [3]
  • Har'El, Z. Uniforma solvaĵo por uniformaj pluredroj., Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har’El [4], programaro Kaleido, Bildoj, dualaj bildoj
  • Mäder, R. E. Uniformaj pluredroj. Mathematica J. 3, 48-57, 1993. [5]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]