Unuera aro (matematiko)

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En matematiko, unuera aro estas aro kun akurate unu ero.

Ekzemploj[redakti | redakti fonton]

  • Aro {1} estas unuera aro.
  • Aro { {1, 2, 3} } estas unuera aro: la nura ero de ĝi estas aro {1, 2, 3}, kiu mem jam ne estas unuera aro.

Propraĵoj[redakti | redakti fonton]

Aro estas unuera aro se kaj nur se ĝia kardinalo estas 1. En la aro-teoria konstruado de la naturaj nombroj, la nombro 1 estas difinita kiel la unuera aro {0}.

En aksioma aroteorio, la ekzisto de unueraj aroj estas konsekvenco de la aksiomo de malplena aro kaj la aksiomo de parigo: la unua donas la malplenan aron {}, kaj la lasta, aplikita al la parigo de {} kaj {}, donas la unueran aron { {} }.

Se A estas iu aro kaj S estas iu unuera aro, tiam tie ekzistas precize unu funkcio de A al S, la funkcia sendanta ĉiun eron de A al la ero de S.

Aplikoj[redakti | redakti fonton]

En topologio, topologia spaco estas T1 spaco se kaj nur se ĉiu unuera aro estas fermita aro.

Strukturoj konstruitaj sur unueraj aroj ofte servas kiel terminalaj objektojnulaj objektoj de diversaj kategorioj:

  • La frazo pli supre montras ke la unueraj aroj estas precize la terminalaj objektoj en la kategorio de aroj. Neniu la alia aro estas terminala objekto en ĉi tiu kategorio.
  • Ĉiu unuera aro povas esti konvertita en topologian spacon per nur unu maniero (ĉiuj subaroj estas malfermitaj). Ĉi tiuj topologiaj spacoj surbaze de unueraj aroj estas terminalaj objektoj en la kategorio de topologiaj spacoj kaj kontinuaj funkcioj. Neniu la alia spaco estas terminala objekto en ĉi tiu kategorio.
  • Ĉiu unuera aro povas esti konvertita en grupon per nur unu maniero - la unika ero servas kiel la neŭtra elemento. Ĉi tiuj unueraj grupoj estas komencaj objektoj (nulaj objektoj) en la kategorio de grupoj kaj grupaj homomorfioj. Neniu la alia grupo estas terminala objekto en ĉi tiu kategorio.

Difino per nadlaj funkcioj[redakti | redakti fonton]

Estu S klaso difinita per buleo-valora funkcio b: X \to \{0, 1\}. Tiam S estas unuera aro se kaj nur se b estas egala al iu funkcio c: X \to \{0, 1\}, kun c(x) = (x = y) por iu y \in X.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]