Unuo (ringa teorio)
El Vikipedio
En matematiko, unuo en (unuohava) ringo R estas neŭtrigebla elemento de R, kio estas ero u tia, ke estas v en R kun
- uv = vu = 1R,
kie 1R estas la multiplika identa ero.
Tio estas, u estas inversigebla ero de la multiplika monoido de R.
Bedaŭrinde, la termino unuo estas ankaŭ kutime uzata por nomi la identan eron 1R de la ringo, en esprimoj kiel ringo kun unuo aŭ unuobla ringo, kaj ankaŭ ekz. unuomatrico. (Pro ĉi tiu kaŭzo, iuj aŭtoroj nomas 1R "unueco", kaj diras, ke R estas "ringo kun unueco" sed ne "ringo kun unuo".)
[redakti] Grupo de unuoj
La unuoj de R grupiĝas U(R) sub multipliko, la grupo de unuoj de R. La grupo de unuoj U(R) iam ankaŭ skribata kiel R* aŭ R×.
En komuta unuohava ringo R, la grupo de unuoj U(R) agas sur R tra multipliko. La orbitoj de ĉi tiu ago estas nomataj kiel aroj de asociitoj; en alia vortoj, estas ekvivalentrilato ~ sur R nomita asocieco tia, ke
- r ~ s
signifas, ke estas unuo u kun r = ni.
Oni povas kontroli, ĉu U estas _functor_ de la kategorio de ringoj al la kategorio de grupoj: ĉiu ringa homomorfio f : R → S konkludas grupa homomorfio U(f) : U(R) → U(S), pro tio ke f mapas unuojn al unuoj. Ĉi tiu _functor_ havas restita adjunkto kiu estas la integrala grupa ringa konstruado.
Ringo R estas kampo se kaj nur se R* = R \ {0}.
[redakti] Ekzemploj
- En la ringo de entjeroj Z, la unuoj estas ±1. La asociitoj estas paroj n kaj −n.
- Ĉiu radiko de unu estas unuo en ĉiu unuohava ringo R. (Se r estas radiko de unu, kaj rn = 1, tiam r−1 = rn − 1 estas ankaŭ ero de R per fermaĵo sub multipliko.) En algebra nombroteorio, unua teoremo de Dirichlet montras la ekziston de multaj unuoj en plejon da ringoj de algebraj entjeroj. Ekzemple, (√5 + 2)(√5 − 2) = 1.
- En la ringo M(n,F) de n×n matricoj super iu kampo F la unuoj estas akurate la inversigeblaj matricoj.
