Volumena integralo

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En multvariabla kalkulo, volumena integralo estas integralo tra 3-dimensia domajno. Ĝi estas triobla obla integralo.

Volumena integralo tra regiono D en R3 de funkcio f(x, y, z) estas kutime skribata kiel:

\iiint\limits_D f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz

Volumena integralo en cilindraj koordinatoj estas

\iiint\limits_D f(r,\theta,z)\,r\,dr\,d\theta\,dz

Volumena integralo en sferaj koordinatoj estas

\iiint\limits_D f(\rho,\theta,\phi)\,\rho^2 \sin\phi \,d\rho \,d\phi\, d\theta

Volumeno de regiono D estas triopa integralo de la konstanta funkcio 1 tra la regiono:

\operatorname{Vol}(D)=\iiint\limits_D dx\,dy\,dz

Ekzemploj[redakti | redakti fonton]

Integralado de funkcio f(x, y, z) = 1 tra kubo D: 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1 rezultas je:

 \iiint\limits_D 1 \,dx\, dy \,dz = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 1 \,dx\, dy \,dz = \int_0^1\int_0^1 (1 - 0) \,dy \,dz = \int_0^1 (1 - 0) dz = 1 - 0 = 1

Integralado de funkcio f(x, y, z) = x+y+z tra la sama kubo rezultas je:

 \iiint \limits_D (x + y + z) \, dx \,dy \,dz = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 (x + y + z) \,dx\, dy \,dz = \int_0^1\int_0^1 (\frac 12 + y + z) \, dy \,dz = \int_0^1 (1 + z) \, dz = \frac 32

Uzoj[redakti | redakti fonton]

Se skalara funkcio \begin{align} f\colon \mathbb{R}^3 &\to \mathbb{R} \end{align} priskribas la densecon de objekto je donita punkto (x, y, z) do plena maso de la objekto estas la volumena integralo de f tra la tuta objekto. La volumena integralo tra parto de la objekto donas mason de la parto.

Simile se la skalara funkcio priskribas la densecon de ŝargo, la volumena integralo de ĝi tra la tuta objekto aŭ parto de la objekto donas entutan ŝargon de la objekto aŭ de la parto.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]