Γ-funkcio

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Matematikaj funkcioj
Fonto-aro, Celo-aro, Bildo, Kontraŭcelo-aro
Fundamentaj funkcioj
algebraj funkcioj:
konstantalinearakvadratapolinomaracionalaTransformo de Möbius
ceteraj funkcioj:
trigonometriajinversa trigonometriahiperbolaeksponentalogaritmapotenca
Specialaj funkcioj
eraraβΓζηW de Lambertde Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τσde Möbiusφπλ
Ecoj:
pareco kaj malparecomonotonecobaritecoperiodecoenĵetecosurĵetecoensurĵeteco
kontinuecoderivaĵecoinegralebleco
Γ funkcio de reela variablo
rightΓ funkcio de kompleksa variablo
Absoluta valoro de Γ funkcio de kompleksa variablo

En matematiko, Γ-funkciogamo-funkcio estas funkcio kies argumento kaj valoro estas reelajkompleksaj nombroj. Por kompleksa nombro z kun pozitiva reela parto ĝi estas difinita kiel

 \Gamma\colon z \mapsto \int_0^{+\infty} t^{z-1} \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t

kiu povas esti etendita al la tuta kompleksa ebeno escepte de la nepozitivaj entjeroj (0, −1, −2, −3, …).

Γ funkcio estas vastigaĵo de la faktorialo. Se n estas nenegativa entjero (0, 1, 2, 3, …), tiam

Γ(n+1) = n!

Aŭ ekvivalente se n estas pozitiva entjero (1, 2, 3, 4, …), tiam

Γ(n) = (n−1)!

Γ funkcio estas skribata per greka majuskla litero gamo. La skribmaniero Γ(z) estas de Adrien-Marie Legendre.

La Gama funkcio estas komponanto en diversaj probablo-distribuaj funkcioj, kaj kiel tia ĝi estas uzata en probabloteorio, statistiko kaj kombinatoriko.

Propraĵoj[redakti | redakti fonton]

Se la reela parto de la kompleksa nombro z estas pozitiva, Re(z) > 0, integralo, kiu estas eŭlera integralo de la dua speco,

 \Gamma(z) = \int_0^{+\infty} t^{z-1} \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t

konverĝas absolute. Per poparta integralado, eblas montri ke

Γ(z+1) = z Γ(z)

Ĉi tio respektivas al egaleco n! = n (n−1)!

Valoron Γ(1) eblas kalkuli analitike:

 \Gamma(1) = \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t = \lim_{k \to +\infty} \left[-\mathrm{e}^{-t}\right]_0^k = -0 - (-1) = 1

El ĉi tio kaj tio ke 0! = 1 sekvas la egaleco

Γ(n+1) = n!

por ĉiuj nenegativaj entjeroj n. Tiel la valoroj de Γ funkcio estas:

Γ(1) = 1 = 0!
Γ(2) = Γ(1+1) = 1 Γ(1) = 1
Γ(3) = Γ(2+1) = 2 Γ(2) = 2 · 1 = 2 = 2!
Γ(4) = Γ(3+1) = 3 Γ(3) = 3 · 2 = 6 = 3!
Γ(5) = Γ(4+1) = 4 Γ(4) = 4 · 6 = 24 = 4!
Γ(6) = Γ(5+1) = 5 Γ(5) = 5 · 24 = 120 = 5!
Γ(7) = Γ(6+1) = 6 Γ(6) = 6 · 120 = 720 = 6!

Pruvo de tio ke Γ(z+1) = z Γ(z):


\begin{align}
\Gamma(z+1) &= \int_0^{+\infty} t^{z+1-1}\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t \\
&= \int_0^{+\infty} t^{z}\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t \\
\end{align}

kaj per poparta integralado:


\begin{align}
&= \left[ t^z\frac{1}{\ln(\mathrm{e}^{-1})}(\mathrm{e}^{-1})^t \right]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} zt^{z-1}\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t \\
&= \underbrace{\left[ -t^{z}\mathrm{e}^{-t} \right]_0^{+\infty}}_{=0-0} + \int_0^{+\infty} zt^{z-1}\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t \\
&= z\int_0^{+\infty} t^{z-1}\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t \\
&= z\Gamma(z)
\end{align}

Ĉiu el jenaj malfiniaj produtoj povas esti konsiderata kiel alternativa difino de Γ funkcio. Ili estas validaj por ĉiuj kompleksaj nombroj z krom nepozitivaj entjeroj. Ili estas de Leonhard Euler kaj Karl Weierstrass respektive.

 \Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\dots(z+n)}
= \frac{1}{z} \prod_{n=1}^{+\infty} \frac{(1+\frac{1}{n})^z}{1+\frac{z}{n}}
 \Gamma(z) = \frac{\mathrm{e}^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^{+\infty}\left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} \mathrm{e}^{z/n}

kie γ estas la konstanto de Eŭlero-Mascheroni.

La reflekta formulo (eŭlera reflekta formulo) por Γ funkcio estas:

 \Gamma(1-z) \, \Gamma(z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}

La multiplika teoremo por Γ funkcio estas


\Gamma(z) \, \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \, \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \dots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) =
(2 \pi)^{(m-1)/2} \, m^{1/2 - mz} \, \Gamma(mz)

La duopiga formulo estas okazo de la multiplika teoremo kun m-2:

 \Gamma(z) \, \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \, \sqrt{\pi} \, \Gamma(2z)

Konata valoro de Γ funkcio je ne-entjera argumento estas

\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}

kio sekvas el la reflekta aŭ duopiga formuloj per preno de z = ½.

Ĝenerale, por neparaj entjeraj valoroj de n estas:

\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)= \sqrt{\pi}\, \frac{n!!}{2^{(n+1)/2}}

kie n !! estas la duopa faktorialo:

n !! := n·(n−2)·(n−4)· … ·6·4·2 se n estas para pozitiva (la okazo ne estadas en la formulo por Γ funkcio);
n !! := n·(n−2)·(n−4)· … ·5·3·1 se n estas nepara pozitiva;
n !! := 1 /( (n+2)·(n+4)· … ·(−3)·(−1) ) se n estas nepara negativa.

Tiel:

 \Gamma(-5/2) = -\frac {8\sqrt{\pi}} {15} \approx -0,9453087204829
 \Gamma(-3/2) = \frac {4\sqrt{\pi}} {3} \approx 2,3632718012074
 \Gamma(-1/2) = -2\sqrt{\pi} \approx -3,5449077018110
 \Gamma(1/2) = \sqrt{\pi} \approx 1,7724538509055
 \Gamma(3/2) = \frac {\sqrt{\pi}} {2} \approx 0,8862269254528
 \Gamma(5/2) = \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} \approx 1,3293403881791
 \Gamma(7/2) = \frac {15\sqrt{\pi}} {8} \approx 3,3233509704478

La n-a derivaĵo de Γ funkcio estas:

\frac{\mathrm{d}^n\,\Gamma}{\mathrm{d}x^n} \colon x \mapsto \int_0^{+\infty} t^{x-1} \mathrm{e}^{-t} (\ln\,t)^n\,\mathrm{d}t

La derivaĵo de logaritmo de Γ funkcio estas la dugama funkcio; pli altaj derivaĵoj estas la plurgamaj funkcioj.

La derivaĵo de Γ funkcio povas esti esprimita per plurgama funkcio:

\Gamma'\colon z\mapsto \Gamma(z)\psi_0(z)

Γ funkcio ne havas nulojn.

Γ funkcio havas polusojn de ordo 1 je ĉiuj nepozitivaj entjeraj z (0, −1, −2, −3, …). La restaĵoj estas

\operatorname{Res}(\Gamma,-n)=\frac{(-1)^n}{n!}

Γ funkcio de kompleksa konjugito estas kompleksa konjugito de Γ funkcio:

 \overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\overline{z})

La teoremo de Bohr-Mollerup statas ke inter ĉiuj funkcioj etendantaj la faktorialon al pozitivaj reelaj nombroj, funkcio x\mapsto \Gamma(x+1) estas la sola funkcio kiu estas log-konveksa, kio estas, ĝia natura logaritmo estas konveksa funkcio.

Π funkcio kaj π funkcio[redakti | redakti fonton]

Absoluta valoro kaj argumento de Π funkcio de kompleksa variablo, Π(x+iy)=ρe

Alternativa skribmaniero kiu estas originale de Gaŭso kaj kiu estas iam uzita estas la Π funkcio:

Π(z) = Γ(z+1) = zΓ(z)
Π(n) = n!

La reflekta formulo kun la Π funkcio estas:

\Pi(z) \; \Pi(-z) = \frac{\pi z}{\sin( \pi z)} = \frac{1}{\operatorname{sinc}(z)}

kie sinc estas la ununormigita sinc funkcio.

La multiplika teoremo povas esti skribita kun la Π funkcio kiel per alpreno de w=mz-1:

 \Pi(\frac{w}{m}) \, \Pi(\frac{w-1}{m}) \cdots \Pi(\frac{w-m+1}{m}) =(\frac{(2 \pi)^m}{2 \pi m})^{1/2} \, m^{-w} \, \Pi(w)

Funkcio π(z) estas difinita kiel:

\pi(z) = \frac{1}{\Pi(z)}

π(z) estas tuta funkcio (difinita por ĉiu kompleksa nombro), ĝi ne havas polusojn respektive al tio ke Π(z) kaj Γ(z) ne havas nulojn.

Aliaj funkcioj[redakti | redakti fonton]

  • En la integralo kiu difinas la Γ funkcion, la limigoj de integralado estas fiksitaj. La supra kaj suba neplenaj Gamaj funkcioj estas la funkcioj ricevitaj per permeso la suba aŭ supra respektive limigo de integralado variiĝi.

La Beta funkcio estas rilatanta al la Γ funkcio:

\Beta(x,y)=\frac{\Gamma(x) \; \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}

Γ funkcio estas rilatanta kun la rimana zeta funkcio ζ(z):

 \pi^{-z/2} \; \Gamma(\frac{z}{2}) \zeta(z) = \pi^{-\frac{1-z}{2}} \; \Gamma(\frac{1-z}{2}) \; \zeta(1-z)
 \zeta(z) \; \Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} \frac{u^{z-1}}{e^u - 1} \; \mathrm{d}u por Re(z) > 1

Derivaĵo de ne entjera ordo[redakti | redakti fonton]

La n-a derivaĵo de axb por entjera n estas:

\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(ax^{b}\right)=\left(b-n+1\right)\cdots\left(b-2\right)\left(b-1\right)bax^{b-n}=\frac{b!}{\left(b-n\right)!}ax^{b-n}

Pro tio ke n! = Γ(n+1):

\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(ax^{b}\right)=\frac{\Gamma\left(b+1\right)}{\Gamma\left(b-n+1\right)}ax^{b-n}

kio validas ankaŭ por ne entjeraj n

Tiel ekzemple (konsiderante ke c = c x0):

\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}\left(x\right)=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{\pi}}

\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}\left(x^{2}\right)=\frac{8\sqrt{x^{3}}}{3\sqrt{\pi}}

\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}\left(c\right)=\frac{c}{\sqrt{\pi}\sqrt{x}}

Komputado[redakti | redakti fonton]

Per formulo Γ(z+1) = z Γ(z) eblas de problemo de komputo de Γ(z) kun ajna z trairi al problemo de komputo de Γ(z) por z tia ke Re(z) estas en la intervalo [1, 2].

Per poparta integralado de la integralo en la difino, Γ funkcio povas esti skribita kiel

\Gamma(z) = x^z e^{-x} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{z(z+1) \cdots (z+n)} + \int_x^\infty e^{-t} t^{z-1} \mathrm{d}t

Se 1≤Re(z)≤2, la lasta integralo estas pli malgranda ol x e-x. Por komputo kun N bitoj de precizeco x povas esti elektita tiel ke x e-x < 2-N. Tiam Γ(z) povas esti komputita kun N bitoj de precizeco per la serio donita pli supre.

Jen estas ekzempla programo por komputado de Γ funkcio per la maniero. Ĉi tie z estas argumento de la Γ funkcio, x estas la valoro pli supre priskribita, m estas prenata kvanto de eroj de la malfinia sumo. Por 14 dekumaj ciferoj de precizeco sufiĉas x=40, m=101.

def gamo(z,x,m):
 
    k=1.0
 
    while z>2.0:
        z-=1.0
        k*=z
    while z<1.0:
        k/=z
        z+=1.0
 
    k*=exp(log(x)*z)*exp(-x)
 
    s=0.0
    p=1.0/z
    n=0
    while n<m:
        s+=p
        n+=1
        p=p*x/(z+n)
 
    return s*k

Se z estas racionala, kalkulado per la maniero povas esti plenumita kun duuma forkiĝo en tempo O( (log(N)2 M(N) ) kie M(N) estas la tempo bezonata por multipliki du N-bitajn nombroj.

Por argumentoj kiuj estas entjeraj obloj de 1/24 la Γ funkcio povas ankaŭ esti komputita rapide per iteracioj de aritmetiko-geometria meznombro, vidu en apartaj valoroj de Γ funkcio.

Ekzistas ankaŭ proksimuma kalkulado de Lanczos kaj proksimuma kalkulado de Stirling por Γ funkcio.

Ĉar Γ funkcio kreskas tre rapide, ofte oni komputas la naturan logaritmon de Γ funkcio (ofte kun nomo lngamma).

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]