Faktorialo
0 | 1 |
1 | 1 |
2 | 2 |
3 | 6 |
4 | 24 |
5 | 120 |
6 | 720 |
7 | 5040 |
8 | 40320 |
9 | 362880 |
10 | 3 628 800 |
11 | 39 916 800 |
12 | 479 001 600 |
13 | 6 227 020 800 |
14 | 87 178 291 200 |
15 | 1 307 674 368 000 |
20 | 2 432 902 008 176 640 000 |
25 | 15 511 210 043 330 985 984 000 000 |
50 | 3,04140932... × 1064 |
70 | 1,19785717... × 10100 |
450 | 1,73336873... × 101000 |
3249 | 6,41233768... × 1010000 |
25206 | 1,205703438... × 10100000 |
47176 | 8,4485731495... × 10200001 |
100000 | 2,8242294079... × 10456573 |
En la matematiko, faktorialo de natura nombro n estas la produto de la pozitivaj entjeroj malpli aŭ egalaj al n. Oni signas ĝin per n!, kion oni prononcas no faktoriale laŭ Christian Kramp.
Difino
Oni aldone difinas , ĉar ĝenerale la produto de neniuj faktoroj estas konsiderata 1.
Kombinatoriko
En kombinatoriko, faktorialo n! estas kvanto de permutaĵoj de n eroj. Ekzemple:
- Por 1 ero {A} estas 1!=1 permuto:
- A
- Por 2 eroj {A,B} estas 2!=2 permutaĵoj:
- AB BA
- Por 3 eroj {A,B,C} estas 3!=6 permutaĵoj:
- ABC ACB BAC BCA CAB CBA
- Por 4 eroj {A,B,C,D} estas 4!=24 permutaĵoj:
- ABCD BACD CABD DABC
- ABDC BADC CADB DACB
- ACBD BCAD CBAD DBAC
- ACDB BCDA CBDA DBCA
- ADBC BDAC CDAB DCAB
- ADCB BDCA CDBA DCBA
Γ-funkcio
Γ-funkcio estas funkcio, difinita por ĉiuj reelaj aŭ kompleksaj argumentoj krom nepozitivaj entjeroj (0, -1, -2, -3, ...). Ĝi estas vastigaĵo de faktorialo. Se n estas nenegativa entjero (0, 1, 2, 3, ...), do
- Γ(n+1) = n!
Aŭ ekvivalente se n estas pozitiva entjero (1, 2, 3, 4, ...), do
- Γ(n) = (n-1)!
Proksimuma kalkulado de Stirling
Proksimuma kalkulado de Stirling estas proksimuma formulo por faktoriala:
kie la nombro e estas la bazo de la eksponenta funkcio kaj O estas granda O.
Pli simpla, malpli preciza sed iam uzebla estas formulo kun nur la unua membro de la proksimuma kalkulado de Stirling
Tiam estas limigoj por la faktorialo.
Tia proksimumo permesas ankaŭ trovi proksimumon pri la logaritmo de n! :
Duopa faktorialo
Duopa faktorialo estas:
Tiel:
- n!!=n(n-2)(n-4)·...·6·4·2 se n estas para pozitiva;
- n!!=n(n-2)(n-4)·...·5·3·1 se n estas nepara pozitiva;
Noto ke duopa faktorialo ne estas faktorialo de faktorialo, ĝenerale n!!≠(n!)!.
La difino povas esti etendita reen al la negativaj argumentoj ĉar
Tiel:
- n!!=1/( (n+2)(n+4)·...·(-3)·(-1)·1 ) se n estas nepara negativa.
Per ĉi tia maniero duopa faktorialo ne estas difinita por para negativa argumento, tamen vidu sube pri ebleco difini per Γ funkcio.
Ekzemple, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384, 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945.
Valoroj de n!! por n=0, 1, 2, ... estas:
- 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...
Valoroj de n!! por n=-1, -3, -5, ... estas:
Iuj formuloj kun duopa faktorialo:
kie Γ estas Γ funkcio. La lasta formulo povas esti konsiderata kiel difino de duopa faktorialo por ĉiuj kompleksaj n≠0.
Plurfaktorialo
Plurfaktorialo estas plua ĝeneraligo post la duopa faktorialo. Plurfaktorialo de la k-a ordo de n, aŭ alivorte la k-a plurfaktorialo de n, estas
Duopa faktorialo estas plurfaktorialo de la 2-a ordo.
Primofaktorialo
Primofaktorialo n# estas produto de ĉiuj primoj ne pli grandaj ol n. Ekzemple:
Se pn estas la n-a primo, do pn# estas produto de n la unuaj primoj:
La unuaj valoroj de pn# por n=1, 2, 3, ... estas:
- 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410.
Vidu ankaŭ
Eksteraj ligiloj
- Retejo pri faktorialo (cs, en, fr)
- A000142 en OEIS - valoroj de faktorialo n! por n = 0, 1, 2, ...
- A006882 en OEIS - valoroj de duopa faktorialo n!! por n = 0, 1, 2, ...
- A002110 en OEIS - valoroj de pn#
- A001163 en OEIS - numeratoroj de proksimuma kalkulado de Stirling
- A001164 en OEIS - denominatoroj de proksimuma kalkulado de Stirling