Logaritma spiralo
Logaritma spiralo estas kurbo, kies la ĝenerala ekvacio en polusa koordinatsistemo estas:
kie a kaj b estas reelaj numbroj strikte pozitivaj (b malsama ol 1) kaj la eksponenta funkcio kun bazo b.
Aŭ alie skribite:
t.e ke la logaritmo de la radiuso estas proporcia al la angulo en ĉiu punkto de la kurbo
Tia kurbo studita en la 17-a jarcento vekis admiron de Jakob Bernoulli pro siaj senvariaj ecoj; tial li nomis ĝin ‘’Spira mirabilis’’ (“Mirinda”, “Mirakla” spiralo). Ĝi troviĝas en la naturo, ekzemple en la kresko de konkoj (e.g. Naŭtilo) por la aranĝo de sunfloraj semoj.
Matematikaj ecoj
Ekvacioj
La formoj de la polusa ekvacio pri logaritma spiralo estas:
- kun a pozitiva reela nombro, e konstanto de Eŭlero kaj m reela kaj ne nula nombro,
aŭ alimaniere antaŭmetante :
- kun a , b du pozitivaj reelaj nombroj (‘’b’’ malsama ol 1).
Tio estas en kartezia koordinatsistemo:
En kompleksa ebeno estas:
Tiele aperas, ke la distancoj inter ĉiuj turnoj kreskas laŭ geometria vico kun multiplika faktoro , dum pri la arkimeda spiralo la distancoj kreskas laŭ aritmetika vico.
Egalangula spiralo
La tanĝanto al la kurbo ĉe la punkto M difinas kun la rekto (OM) konstantan angulon laŭ la sekvanta eco:
kie estas la natura logaritmo de la konstanto b, kiu difinas la spiralon.
Tiu eco karakterizas la logaritmajn spiralojn, kiuj pro tio ofte nomatas “egalangulaj spiraloj”.
El tiu eco sekvas, ke, se oni rulas logaritman spiralon sur ĝia tanĝanto, la centro de la spiralo moviĝas sur rekto[1] (Vd la apudan bidon).
Longo de arko
La longo de la arko inter la origino O kaj la punkto M de la spiralo estas proporcia al OM. La proporcickoeficiento estas egala al la kvadrata radiko de ; se α estas la angulo je kiu la spiralo intersekcas la radiusojn, ĉi tiu proporcieckoeficiento estas do egala al , pro la valoro de :.
Kurboradiuso
La kurboradiuso R estas rekte proporcia al r laŭ la sekvanta formulo:
- .
Rotacio, memsimileco
Rotaciante la spiralon per iu angulo kondukas al la spiralon , kiu estas la antaŭa spiralo transformita per homotetio laŭ la origino kun koeficiento .
Referencoj kaj ligiloj
En tiu ĉi artikolo estas uzita traduko de teksto el la artikolo Spirale logarithmique en la franca Vikipedio.