La anguloj sur la unuobla cirklo kiuj estas obloj de 30 kaj 45 gradoj. En matematiko , ekzaktaj trigonometria konstantoj estas valoroj de trigonometriaj funkcioj por certaj argumentoj , kiuj povas esti ekzakte esprimitaj per algebraj operacioj kaj radikoj .
Ĉiuj valoroj de sinuso , kosinuso , kaj tangento de angulo obla de 3° estas ekzakte esprimebla.
Kiel valoroj por sinuso kaj kosinuso povas esti kalkulitaj [ redakti | redakti fonton ] Ĝenerale estas multaj uzeblaj formuloj por sinuso kaj kosinuso de duona angulo kaj sumo kaj diferenco de anguloj (vidu en trigonometriaj funkcioj ).
Ĉi tiu artikolo estas nekompleta en almenaŭ jenaj sencoj:
Ĉiam eblas apliki duono-angula formulo kaj trovi akuratajn esprimojn por sinuso kaj kosinuso de duono de ĉiu angulo sur la listo pli sube.
Triono-angulaj formuloj ekzistas, ili estas solvoj de formuloj por trioblaj anguloj kiel kubaj ekvacioj por sin θ kaj cos θ :
:
sin
3
θ
=
3
sin
θ
−
4
sin
3
θ
{\displaystyle \sin 3\theta =3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta }
:
cos
3
θ
=
4
cos
3
θ
−
3
cos
θ
{\displaystyle \cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta }
: Noto ke kuba radiko ne estas kalkulebla per cirkelo kaj liniilo , tiel la respektivaj plurlateroj povas esti ne konstrueblaj . Ankaŭ, kompleksaj nombroj povas aperi dum kalkulo de la valoroj, tamen la rezulto estas reela . Vidu sube la valorojn por 20°.
Sinuso kaj kosinuso de ĉiuj anguloj kiuj aperaj en konstrueblaj plurlateroj estas esprimeblaj per nur kvadrataj radikoj , tiel sinuso kaj kosinuso de ankaŭ Π/17, Π/257 kaj Π/65537 povas esti akurate esprimitaj, kaj ankaŭ de Π/(5·17), Π/(3·17), Π/(5·257), Π/(17·257), Π/(5·65537), Π/(5·17·257), ktp; entjera faktorigo de la denominatoro devas konsisti nur el malsamaj primoj de Fermat . Ankaŭ estas esprimeblaj iliaj duonoj, trionoj, kvaronoj, sesonoj, okonoj, naŭonoj ktp kaj iliaj obloj, sumoj, diferencoj.
Ankaŭ iuj la aliaj valoroj de sinuso kaj kosinuso povas esti kalkulitaj, inter ili tiuj de Π/7, Π/11, Π/13. Ĝenerale ĉi tiaj denominatoroj de la argumento igas aperon de polinomaj ekvacioj de grado 5 kaj pli granda, kiuj ĝenerale ne solveblas en radikaloj, tamen ĝuste por ĉi tiuj argumentoj la ekvacioj estas iel pli simplaj kaj solveblaj. La funkcioj por 0, 30, 45, 60 kaj 90 gradoj povas esti kalkulita de iliaj trianguloj, per teoremo de Pitagoro .
a/b = 1/φ Aplikante ptolemean teoremon al la cikla kvarlatero ABCD difinita per kvar sinsekvaj verticoj de la regula kvinlatero , oni povas trovi ke:
c
r
d
36
∘
=
c
r
d
(
∠
A
D
B
)
=
a
b
=
2
1
+
5
{\displaystyle \mathrm {crd} {36^{\circ }}=\mathrm {crd} (\angle \mathrm {ADB} )={\frac {a}{b}}={\frac {2}{1+{\sqrt {5}}}}}
kiu estas la inverso de la ora proporcio φ , kie crd estas la ĥorda funkcio:
c
r
d
θ
=
2
sin
θ
2
{\displaystyle \mathrm {crd} \ {\theta }=2\sin {\frac {\theta }{2}}}
tial
sin
18
∘
=
1
1
+
5
{\displaystyle \sin {18^{\circ }}={\frac {1}{1+{\sqrt {5}}}}}
En alternativa varianto de pruvo, estu X la komunaĵo de AC kaj BD, tiam triangulo AXB estas izocela , tiel AX=AB=a . Trianguloj AXD kaj ĈB estas simila , ĉar AD estas paralelo al BC . Tiel XC=a(a/b) . Sed AX+XC=AC , tiel a+a2 /b=b . Solvo de ĉi tiu donas ke a/b=1/φ ,
Simile
c
r
d
108
∘
=
c
r
d
(
∠
A
B
C
)
=
b
a
=
1
+
5
2
{\displaystyle \mathrm {crd} 108^{\circ }=\mathrm {crd} (\angle \mathrm {ABC} )={\frac {b}{a}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
tial
sin
54
∘
=
cos
36
∘
=
1
+
5
4
{\displaystyle \sin 54^{\circ }=\cos 36^{\circ }={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}}
La oblaj angulaj formuloj por funkcioj de 5x estas:
sin
5
x
=
16
(
sin
x
)
5
−
20
(
sin
x
)
3
+
5
sin
x
{\displaystyle \sin {5x}=16(\sin x)^{5}-20(\sin x)^{3}+5\sin x}
cos
5
x
=
16
(
cos
x
)
5
−
20
(
cos
x
)
3
+
5
cos
x
{\displaystyle \cos {5x}=16(\cos x)^{5}-20(\cos x)^{3}+5\cos x}
Se x estas 18, 36, 54, 72 aŭ 90 gradoj do 5x estas 90, 180, 270, 360 aŭ 450 gradoj respektive, sin 5x=0 aŭ cos 5x=0 . Estu
y
=
sin
x
{\displaystyle y=\sin x}
y
=
cos
x
{\displaystyle y=\cos x}
y ekvacion
16
y
5
−
20
y
3
+
5
y
=
0
{\displaystyle 16y^{5}-20y^{3}+5y=0}
Unu solvaĵo estas nulo, kaj la rezultanta post divido de ambaŭ flankoj je y ekvacio de la 4-a grado povas esti solvita kiel kvadrata de
y
2
{\displaystyle y^{2}\,}
Se sin 5x=1 aŭ cos 5x=1 , la ekvacio estas
16
y
5
−
20
y
3
+
5
y
−
1
=
0
{\displaystyle 16y^{5}-20y^{3}+5y-1=0}
kiu faktoriĝas kiel
(
y
−
1
)
(
4
y
2
+
2
y
−
1
)
2
=
0
{\displaystyle (y-1)(4y^{2}+2y-1)^{2}=0\,}
15° estas duono de 30°. 3° estas 18°-15°. Tiel per formuloj por duona angulo kaj subtraho de anguloj la valoroj por 3° estas kalkuleblaj. Por ĉiuj obloj de 3° la valoroj estas kalkuleblaj per adicio kaj subtraho de anguloj.
Tangento estas sinuso dividita per kosinuso, kaj kotangento estas kosinuso dividita per sinuso, aŭ 1 dividita per tangento. Poste la frakcion ofte eblas plisimpligi.
Se la denominatoro estas kvadrata radiko, multipliku la numeratoron kaj denominatoron per la radiko.
Se la denominatoro estas sumo aŭ diferenco de du termoj, multipliku la numeratoron kaj denominatoron per la respektive diferenco aŭ sumo de la du termoj de la denominatoro.
Povas esti bezonate fari ĉi tiuj paŝojn kelkfoje. Iam helpas al fendi la frakcio en sumon de du frakcioj kaj tiam plisimpligi ilin aparte.
Kvadratigo kun preno de kvadrata radiko [ redakti | redakti fonton ] Se estas komplika termo kun nur unu speco de radiko en ĝi povas helpi preni kvadratan radikon de ĝi kvadrato. Ĉi tiu povas lasi grandan radikon kun pli malgrandaj radikoj ene, sed ĝi estas ofte pli bona ol la originala esprimo.
Plisimpligo de nestitaj radikaj esprimoj [ redakti | redakti fonton ] Ĝenerale nestitaj radikoj ne povas reduktiĝi.
Sed se por
a
+
b
c
{\displaystyle {\sqrt {a+b{\sqrt {c}}}}}
R
=
a
2
−
b
2
c
{\displaystyle R={\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}\,}
kaj ambaŭ
d
=
±
a
±
R
2
{\displaystyle d=\pm {\sqrt {\frac {a\pm R}{2}}}\,}
e
=
±
a
±
R
2
c
{\displaystyle e=\pm {\sqrt {\frac {a\pm R}{2c}}}\,}
estas racionalaj kun la adekvata elekto ĉe la kvar
±
{\displaystyle \pm }
a
+
b
c
=
d
+
e
c
{\displaystyle {\sqrt {a+b{\sqrt {c}}}}=d+e{\sqrt {c}}\,}
Ekzemplo:
4
sin
18
∘
=
6
−
2
5
=
5
−
1
{\displaystyle 4\sin {18^{\circ }}={\sqrt {6-2{\sqrt {5}}}}={\sqrt {5}}-1}
Regula n -latera plurlatero por n=6 kaj ĝia fundamenta orta triangulo, angulo a=180°/n Fundamenta triangulo estas orta triangulo farita de simetriaj sekcioj de regula plurlatero. Ĉi tia orta triangulo prezentas tri punktoj en regula plurlatero: vertico, centro de latero, kaj centro de plurlatero. n -latero povas esti dividita en 2n ortajn triangulojn kun anguloj {180/n , 90−180/n , 90} gradoj, por entjera n=3, 4, 5, ... .
Regulaj konstrueblaj plurlateroj (n=0, 1, 2, 3, ... )
3×2n 30°-60°-90° triangulo: triangulo (3-latero)
60°-30°-90° triangulo: seslatero (6-latero)
75°-15°-90° triangulo: dekdulatero (12-latero)
82,5°-7,5°-90° triangulo: 24-latero
86,25°-3,75°-90° triangulo: 48-latero
...
4×2n 45°-45°-90° triangulo: kvadrato (4-latero)
67,5°-22,5°-90° triangulo: oklatero (8-latero)
78,75°-11,25°-90° triangulo: 16-latero
...
5×2n 54°-36°-90° triangulo: kvinlatero (5-latero)
72°-18°-90° triangulo: deklatero (10-latero)
81°-9°-90° triangulo: 20-latero
85,5°-4,5°-90° triangulo: 40-latero
87,75°-2,25°-90° triangulo: 80-latero
...
15×2n 78°-12°-90° triangulo: 15-latero
84°-6°-90° triangulo: 30-latero
87°-3°-90° triangulo: 60-latero
88,5°-1,5°-90° triangulo: 120-latero
89,25°-0,75°-90° triangulo: 240-latero
Pli altaj konstrueblaj regulaj plurlateroj (17, 51, 85, 255, 257...) ne havas entjerajn gradajn angulojn
Regulaj nekonstrueblaj plurlateroj - finiaj esprimoj kun nur kvadrataj radikoj ne eblas (n=0, 1, 2, 3, ... )
9×2n 70°-20°-90° triangulo: naŭlatero (9-latero)
80°-10°-90° triangulo: 18-latero
85°-5°-90° triangulo: 36-latero
87,5°-2,5°-90° triangulo: 72-latero
...
45×2n 86°-4°-90° triangulo: 45-latero
88°-2°-90° triangulo: 90-latero
89°-1°-90° triangulo: 180-latero
89,5°-0,5°-90° triangulo: 360-latero
... Valoroj ekster limigo [0°,45°] estas bagatele kalkuleblaj per formuloj por trigonometriaj funkcioj por koordinataj turnadoj kaj reflektoj .
sin
0
=
0
{\displaystyle \sin 0=0\,}
cos
0
=
1
{\displaystyle \cos 0=1\,}
tan
0
=
0
{\displaystyle \tan 0=0\,}
cot
0
{\displaystyle \cot 0\,}
sin
π
60
=
sin
3
∘
=
2
(
1
−
3
)
5
+
5
+
2
(
5
−
1
)
(
3
+
1
)
16
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{60}}=\sin 3^{\circ }={\frac {2(1-{\sqrt {3}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}+1)}{16}}\,}
cos
π
60
=
cos
3
∘
=
2
(
1
+
3
)
5
+
5
+
2
(
5
−
1
)
(
3
−
1
)
16
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{60}}=\cos 3^{\circ }={\frac {2(1+{\sqrt {3}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}-1)}{16}}\,}
tan
π
60
=
tan
3
∘
=
(
(
2
−
3
)
(
3
+
5
)
−
2
)
(
2
−
2
(
5
−
5
)
)
4
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{60}}=\tan 3^{\circ }={\frac {((2-{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})-2)(2-{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}})}{4}}\,}
cot
π
60
=
cot
3
∘
=
(
(
2
+
3
)
(
3
+
5
)
−
2
)
(
2
+
2
(
5
−
5
)
)
4
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{60}}=\cot 3^{\circ }={\frac {((2+{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})-2)(2+{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}})}{4}}\,}
sin
π
30
=
sin
6
∘
=
6
(
5
−
5
)
−
5
−
1
8
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{30}}=\sin 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {5}}-1}{8}}\,}
cos
π
30
=
cos
6
∘
=
2
(
5
−
5
)
+
3
(
5
+
1
)
8
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{30}}=\cos 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)}{8}}\,}
tan
π
30
=
tan
6
∘
=
2
(
5
−
5
)
−
3
(
5
−
1
)
2
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{30}}=\tan 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{2}}\,}
cot
π
30
=
cot
6
∘
=
3
(
3
+
5
)
+
2
(
25
+
11
5
)
2
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{30}}=\cot 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})+{\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}}{2}}\,}
sin
π
20
=
sin
9
∘
=
2
(
5
+
1
)
−
2
5
−
5
8
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{20}}=\sin 9^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)-2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{8}}\,}
cos
π
20
=
cos
9
∘
=
2
(
5
+
1
)
+
2
5
−
5
8
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)+2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{8}}\,}
tan
π
20
=
tan
9
∘
=
5
+
1
−
5
+
2
5
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{20}}=\tan 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,}
cot
π
20
=
cot
9
∘
=
5
+
1
+
5
+
2
5
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{20}}=\cot 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,}
cos
π
17
=
1
8
2
(
2
17
(
17
−
17
)
2
−
17
−
17
2
−
4
2
(
17
+
17
)
+
3
17
+
17
+
2
(
17
−
17
)
+
17
+
15
)
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17}}={\frac {1}{8}}{\sqrt {2\left(2{\sqrt {{\sqrt {\frac {17(17-{\sqrt {17}})}{2}}}-{\sqrt {\frac {17-{\sqrt {17}}}{2}}}-4{\sqrt {2(17+{\sqrt {17}})}}+3{\sqrt {17}}+17}}+{\sqrt {2(17-{\sqrt {17}})}}+{\sqrt {17}}+15\right)}}}
sin
π
15
=
sin
12
∘
=
2
(
5
+
5
)
−
3
(
5
−
1
)
8
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{15}}=\sin 12^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{8}}\,}
cos
π
15
=
cos
12
∘
=
6
(
5
+
5
)
+
5
−
1
8
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15}}=\cos 12^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {5}}-1}{8}}\,}
tan
π
15
=
tan
12
∘
=
3
(
3
−
5
)
−
2
(
25
−
11
5
)
2
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{15}}=\tan 12^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}})-{\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{2}}\,}
cot
π
15
=
cot
12
∘
=
3
(
5
+
1
)
+
2
(
5
+
5
)
2
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{15}}=\cot 12^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}}{2}}\,}
sin
π
12
=
sin
15
∘
=
2
(
3
−
1
)
4
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{12}}=\sin 15^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)}{4}}\,}
cos
π
12
=
cos
15
∘
=
2
(
3
+
1
)
4
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{12}}=\cos 15^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)}{4}}\,}
tan
π
12
=
tan
15
∘
=
2
−
3
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{12}}=\tan 15^{\circ }=2-{\sqrt {3}}\,}
cot
π
12
=
cot
15
∘
=
2
+
3
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{12}}=\cot 15^{\circ }=2+{\sqrt {3}}\,}
sin
π
10
=
sin
18
∘
=
5
−
1
4
=
φ
−
1
2
=
1
2
φ
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}={\frac {\varphi -1}{2}}={\frac {1}{2\varphi }}\,}
cos
π
10
=
cos
18
∘
=
2
(
5
+
5
)
4
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}{4}}\,}
tan
π
10
=
tan
18
∘
=
5
(
5
−
2
5
)
5
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{10}}=\tan 18^{\circ }={\frac {\sqrt {5(5-2{\sqrt {5}})}}{5}}\,}
cot
π
10
=
cot
18
∘
=
5
+
2
5
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{10}}=\cot 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,}
sin
π
9
=
sin
20
∘
=
−
3
16
+
−
1
256
3
+
−
3
16
−
−
1
256
3
=
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{9}}=\sin 20^{\circ }={\sqrt[{3}]{-{\frac {\sqrt {3}}{16}}+{\sqrt {-{\frac {1}{256}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {\sqrt {3}}{16}}-{\sqrt {-{\frac {1}{256}}}}}}=}
2
−
4
3
(
i
−
3
3
−
i
+
3
3
)
{\displaystyle 2^{-{\frac {4}{3}}}({\sqrt[{3}]{i-{\sqrt {3}}}}-{\sqrt[{3}]{i+{\sqrt {3}}}})}
cos
π
9
=
cos
20
∘
=
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{9}}=\cos 20^{\circ }=}
2
−
4
3
(
1
+
i
3
3
+
1
−
i
3
3
)
{\displaystyle 2^{-{\frac {4}{3}}}({\sqrt[{3}]{1+i{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{1-i{\sqrt {3}}}})}
Kompleksaj nombroj aperas dum kalkulo de la valoroj, tamen la rezulto estas reela .
sin
7
π
60
=
sin
21
∘
=
2
(
3
+
1
)
5
−
5
−
2
(
3
−
1
)
(
1
+
5
)
16
{\displaystyle \sin {\frac {7\pi }{60}}=\sin 21^{\circ }={\frac {2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)(1+{\sqrt {5}})}{16}}\,}
cos
7
π
60
=
cos
21
∘
=
2
(
3
−
1
)
5
−
5
+
2
(
3
+
1
)
(
1
+
5
)
16
{\displaystyle \cos {\frac {7\pi }{60}}=\cos 21^{\circ }={\frac {2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)(1+{\sqrt {5}})}{16}}\,}
tan
7
π
60
=
tan
21
∘
=
(
2
−
(
2
+
3
)
(
3
−
5
)
)
(
2
−
2
(
5
+
5
)
)
4
{\displaystyle \tan {\frac {7\pi }{60}}=\tan 21^{\circ }={\frac {(2-(2+{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}}))(2-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}})}{4}}\,}
cot
7
π
60
=
cot
21
∘
=
(
2
−
(
2
−
3
)
(
3
−
5
)
)
(
2
+
10
5
)
4
{\displaystyle \cot {\frac {7\pi }{60}}=\cot 21^{\circ }={\frac {(2-(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}}))(2+{\sqrt {10{\sqrt {5}}}})}{4}}\,}
sin
π
8
=
sin
22.5
∘
=
2
−
2
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{8}}=\sin 22.5^{\circ }={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}\,}
cos
π
8
=
cos
22.5
∘
=
2
+
2
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{8}}=\cos 22.5^{\circ }={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\,}
tan
π
8
=
tan
22.5
∘
=
2
−
1
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{8}}=\tan 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}-1\,}
cot
π
8
=
cot
22.5
∘
=
2
+
1
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{8}}=\cot 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}+1\,}
sin
2
π
15
=
sin
24
∘
=
3
(
5
+
1
)
−
2
5
−
5
8
{\displaystyle \sin {\frac {2\pi }{15}}=\sin 24^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-{\sqrt {2}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{8}}\,}
cos
2
π
15
=
cos
24
∘
=
6
5
−
5
+
5
+
1
8
{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{15}}=\cos 24^{\circ }={\frac {{\sqrt {6}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1}{8}}\,}
tan
2
π
15
=
tan
24
∘
=
50
+
22
5
−
3
(
3
+
5
)
2
{\displaystyle \tan {\frac {2\pi }{15}}=\tan 24^{\circ }={\frac {{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})}{2}}\,}
cot
2
π
15
=
cot
24
∘
=
2
5
−
5
+
3
(
5
−
1
)
2
{\displaystyle \cot {\frac {2\pi }{15}}=\cot 24^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{2}}\,}
sin
3
π
20
=
sin
27
∘
=
(
5
+
1
)
5
+
5
−
2
(
5
−
1
)
8
{\displaystyle \sin {\frac {3\pi }{20}}=\sin 27^{\circ }={\frac {({\sqrt {5}}+1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)}{8}}\,}
cos
3
π
20
=
cos
27
∘
=
(
5
+
1
)
5
+
5
+
2
(
5
−
1
)
8
{\displaystyle \cos {\frac {3\pi }{20}}=\cos 27^{\circ }={\frac {({\sqrt {5}}+1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)}{8}}\,}
tan
3
π
20
=
tan
27
∘
=
5
−
1
−
5
−
2
5
{\displaystyle \tan {\frac {3\pi }{20}}=\tan 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,}
cot
3
π
20
=
cot
27
∘
=
5
−
1
+
5
−
2
5
{\displaystyle \cot {\frac {3\pi }{20}}=\cot 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,}
sin
π
6
=
sin
30
∘
=
1
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {1}{2}}\,}
cos
π
6
=
cos
30
∘
=
3
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{6}}=\cos 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,}
tan
π
6
=
tan
30
∘
=
3
3
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{6}}=\tan 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}\,}
cot
π
6
=
cot
30
∘
=
3
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{6}}=\cot 30^{\circ }={\sqrt {3}}\,}
sin
11
π
60
=
sin
33
∘
=
2
(
3
−
1
)
5
+
5
+
2
(
1
+
3
)
(
5
−
1
)
16
{\displaystyle \sin {\frac {11\pi }{60}}=\sin 33^{\circ }={\frac {2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}(1+{\sqrt {3}})({\sqrt {5}}-1)}{16}}\,}
cos
11
π
60
=
cos
33
∘
=
2
(
3
+
1
)
5
+
5
+
2
(
1
−
3
)
(
5
−
1
)
16
{\displaystyle \cos {\frac {11\pi }{60}}=\cos 33^{\circ }={\frac {2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}(1-{\sqrt {3}})({\sqrt {5}}-1)}{16}}\,}
tan
11
π
60
=
tan
33
∘
=
(
2
−
(
2
−
3
)
(
3
+
5
)
)
(
2
+
2
(
5
−
5
)
)
4
{\displaystyle \tan {\frac {11\pi }{60}}=\tan 33^{\circ }={\frac {(2-(2-{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}}))(2+{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}})}{4}}\,}
cot
11
π
60
=
cot
33
∘
=
(
2
−
(
2
+
3
)
(
3
+
5
)
)
(
2
−
2
(
5
−
5
)
)
4
{\displaystyle \cot {\frac {11\pi }{60}}=\cot 33^{\circ }={\frac {(2-(2+{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}}))(2-{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}})}{4}}\,}
sin
π
5
=
sin
36
∘
=
2
(
5
−
5
)
4
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}{4}}\,}
cos
π
5
=
cos
36
∘
=
1
+
5
4
=
φ
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}={\frac {\varphi }{2}}\,}
tan
π
5
=
tan
36
∘
=
5
−
2
5
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{5}}=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,}
cot
π
5
=
cot
36
∘
=
5
(
5
+
2
5
)
5
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{5}}=\cot 36^{\circ }={\frac {\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}{5}}\,}
sin
13
π
60
=
sin
39
∘
=
2
(
1
−
3
)
5
−
5
+
2
(
3
+
1
)
(
5
+
1
)
16
{\displaystyle \sin {\frac {13\pi }{60}}=\sin 39^{\circ }={\frac {2(1-{\sqrt {3}}){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}+1)}{16}}\,}
cos
13
π
60
=
cos
39
∘
=
2
(
1
+
3
)
5
−
5
+
2
(
3
−
1
)
(
5
+
1
)
16
{\displaystyle \cos {\frac {13\pi }{60}}=\cos 39^{\circ }={\frac {2(1+{\sqrt {3}}){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}+1)}{16}}\,}
tan
13
π
60
=
tan
39
∘
=
(
(
2
−
3
)
(
3
−
5
)
−
2
)
(
2
−
2
(
5
+
5
)
)
4
{\displaystyle \tan {\frac {13\pi }{60}}=\tan 39^{\circ }={\frac {((2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})-2)(2-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}})}{4}}\,}
cot
13
π
60
=
cot
39
∘
=
(
(
2
+
3
)
(
3
−
5
)
−
2
)
(
2
+
2
(
5
+
5
)
)
4
{\displaystyle \cot {\frac {13\pi }{60}}=\cot 39^{\circ }={\frac {((2+{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})-2)(2+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}})}{4}}\,}
sin
7
π
30
=
sin
42
∘
=
6
5
+
5
−
5
+
1
8
{\displaystyle \sin {\frac {7\pi }{30}}=\sin 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {6}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {5}}+1}{8}}\,}
cos
7
π
30
=
cos
42
∘
=
2
5
+
5
+
3
(
5
−
1
)
8
{\displaystyle \cos {\frac {7\pi }{30}}=\cos 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{8}}\,}
tan
7
π
30
=
tan
42
∘
=
3
(
5
+
1
)
−
2
5
+
5
2
{\displaystyle \tan {\frac {7\pi }{30}}=\tan 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{2}}\,}
cot
7
π
30
=
cot
42
∘
=
2
(
25
−
11
5
)
+
3
(
3
−
5
)
2
{\displaystyle \cot {\frac {7\pi }{30}}=\cot 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}})}{2}}\,}
sin
π
4
=
sin
45
∘
=
2
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}\,}
cos
π
4
=
cos
45
∘
=
2
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{4}}=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}\,}
tan
π
4
=
tan
45
∘
=
1
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{4}}=\tan 45^{\circ }=1\,}
cot
π
4
=
cot
45
∘
=
1
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{4}}=\cot 45^{\circ }=1\,}
sin
π
3
=
sin
60
∘
=
3
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,}
cos
π
3
=
cos
60
∘
=
1
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3}}=\cos 60^{\circ }={\frac {1}{2}}\,}
tan
π
3
=
tan
60
∘
=
3
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{3}}=\tan 60^{\circ }={\sqrt {3}}\,}
cot
π
3
=
cot
60
∘
=
3
3
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{3}}=\cot 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}\,}
Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Nestita radiko.
![{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{9}}=\sin 20^{\circ }={\sqrt[{3}]{-{\frac {\sqrt {3}}{16}}+{\sqrt {-{\frac {1}{256}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {\sqrt {3}}{16}}-{\sqrt {-{\frac {1}{256}}}}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e39576a98052e848f2f9291c5d5da2437d6d056)
![{\displaystyle 2^{-{\frac {4}{3}}}({\sqrt[{3}]{i-{\sqrt {3}}}}-{\sqrt[{3}]{i+{\sqrt {3}}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50a287434c058cc24fc6d48baa56b13bc7a26427)
![{\displaystyle 2^{-{\frac {4}{3}}}({\sqrt[{3}]{1+i{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{1-i{\sqrt {3}}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff5fc48cf9638893e79d19d632b6e922b18c3f54)
