Akurataj trigonometriaj konstantoj

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
La anguloj sur la unuobla cirklo kiuj estas obloj de 30 kaj 45 gradoj.

En matematiko, akurataj trigonometria konstantoj estas valoroj de trigonometriaj funkcioj por certaj argumentoj, kiuj povas esti akurate esprimitaj per algebraj operacioj kaj radikoj.

Ĉiuj valoroj de sinuso, kosinuso, kaj tangento de angulo obla de 3° estas akurate esprimebla.

Kiel valoroj por sinuso kaj kosinuso povas esti kalkulitaj[redakti | redakti fonton]

Ĝenerale estas multaj uzeblaj formuloj por sinuso kaj kosinuso de duona angulo kaj sumo kaj diferenco de anguloj (vidu en trigonometriaj funkcioj).

Ĉi tiu artikolo estas nekompleta en almenaŭ jenaj sencoj:

  • Ĉiam eblas apliki duono-angula formulo kaj trovi akuratajn esprimojn por sinuso kaj kosinuso de duono de ĉiu angulo sur la listo pli sube.
  • Triono-angulaj formuloj ekzistas, ili estas solvoj de formuloj por trioblaj anguloj kiel kubaj ekvacioj por sin θ kaj cos θ:
    Noto ke kuba radiko ne estas kalkulebla per cirkelo kaj liniilo, tiel la respektivaj plurlateroj povas esti ne konstrueblaj. Ankaŭ, kompleksaj nombroj povas aperi dum kalkulo de la valoroj, tamen la rezulto estas reela. Vidu sube la valorojn por 20°.
  • Sinuso kaj kosinuso de ĉiuj anguloj kiuj aperaj en konstrueblaj plurlateroj estas esprimeblaj per nur kvadrataj radikoj, tiel sinuso kaj kosinuso de ankaŭ Π/17, Π/257 kaj Π/65537 povas esti akurate esprimitaj, kaj ankaŭ de Π/(5·17), Π/(3·17), Π/(5·257), Π/(17·257), Π/(5·65537), Π/(5·17·257), ktp; entjera faktorigo de la denominatoro devas konsisti nur el malsamaj primoj de Fermat. Ankaŭ estas esprimeblaj iliaj duonoj, trionoj, kvaronoj, sesonoj, okonoj, naŭonoj ktp kaj iliaj obloj, sumoj, diferencoj.
  • Ankaŭ iuj la aliaj valoroj de sinuso kaj kosinuso povas esti kalkulitaj, inter ili tiuj de Π/7, Π/11, Π/13. Ĝenerale ĉi tiaj denominatoroj de la argumento igas aperon de polinomaj ekvacioj de grado 5 kaj pli granda, kiuj ĝenerale ne solveblas en radikaloj, tamen ĝuste por ĉi tiuj argumentoj la ekvacioj estas iel pli simplaj kaj solveblaj.

La bagatelaj aĵoj[redakti | redakti fonton]

La funkcioj por 0, 30, 45, 60 kaj 90 gradoj povas esti kalkulita de iliaj trianguloj, per teoremo de Pitagoro.

n × Π/(5×2m)[redakti | redakti fonton]

a/b = 1/φ

Geometria maniero[redakti | redakti fonton]

Aplikante ptolemean teoremon al la cikla kvarlatero ABCD difinita per kvar sinsekvaj verticoj de la regula kvinlatero, oni povas trovi ke:

kiu estas la inverso de la ora proporcio φ, kie crd estas la ĥorda funkcio:

tial

En alternativa varianto de pruvo, estu X la komunaĵo de AC kaj BD, tiam triangulo AXB estas izocela, tiel AX=AB=a. Trianguloj AXD kaj ĈB estas simila, ĉar AD estas paralelo al BC. Tiel XC=a(a/b). Sed AX+XC=AC, tiel a+a2/b=b. Solvo de ĉi tiu donas ke a/b=1/φ, Simile

tial

Algebra maniero[redakti | redakti fonton]

La oblaj angulaj formuloj por funkcioj de 5x estas:

Se x estas 18, 36, 54, 72 aŭ 90 gradoj do 5x estas 90, 180, 270, 360 aŭ 450 gradoj respektive, sin 5x=0cos 5x=0. Estu kaj solvi por y ekvacion

Unu solvaĵo estas nulo, kaj la rezultanta post divido de ambaŭ flankoj je y ekvacio de la 4-a grado povas esti solvita kiel kvadrata de .

Se sin 5x=1cos 5x=1, la ekvacio estas

kiu faktoriĝas kiel

.

n × Π/60[redakti | redakti fonton]

15° estas duono de 30°. 3° estas 18°-15°. Tiel per formuloj por duona angulo kaj subtraho de anguloj la valoroj por 3° estas kalkuleblaj. Por ĉiuj obloj de 3° la valoroj estas kalkuleblaj per adicio kaj subtraho de anguloj.

Tangento kaj kotangento[redakti | redakti fonton]

Tangento estas sinuso dividita per kosinuso, kaj kotangento estas kosinuso dividita per sinuso, aŭ 1 dividita per tangento. Poste la frakcion ofte eblas plisimpligi.

Plisimpligo[redakti | redakti fonton]

Racionaligo la denominatoro[redakti | redakti fonton]

Se la denominatoro estas kvadrata radiko, multipliku la numeratoron kaj denominatoron per la radiko.
Se la denominatoro estas sumo aŭ diferenco de du termoj, multipliku la numeratoron kaj denominatoron per la respektive diferenco aŭ sumo de la du termoj de la denominatoro.
Povas esti bezonate fari ĉi tiuj paŝojn kelkfoje.

Disdividi frakcion[redakti | redakti fonton]

Iam helpas al fendi la frakcio en sumon de du frakcioj kaj tiam plisimpligi ilin aparte.

Kvadratigo kun preno de kvadrata radiko[redakti | redakti fonton]

Se estas komplika termo kun nur unu speco de radiko en ĝi povas helpi preni kvadratan radikon de ĝi kvadrato. Ĉi tiu povas lasi grandan radikon kun pli malgrandaj radikoj ene, sed ĝi estas ofte pli bona ol la originala esprimo.

Plisimpligo de nestitaj radikaj esprimoj[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Nestita radiko.

Ĝenerale nestitaj radikoj ne povas reduktiĝi.

Sed se por

estas racionala,

kaj ambaŭ

kaj

estas racionalaj kun la adekvata elekto ĉe la kvar signoj, tiam

Ekzemplo:

Trianguloj kaj plurlateroj[redakti | redakti fonton]

Regula n-latera plurlatero por n=6 kaj ĝia fundamenta orta triangulo, angulo a=180°/n

Fundamenta triangulo estas orta triangulo farita de simetriaj sekcioj de regula plurlatero. Ĉi tia orta triangulo prezentas tri punktoj en regula plurlatero: vertico, centro de latero, kaj centro de plurlatero. n-latero povas esti dividita en 2n ortajn triangulojn kun anguloj {180/n, 90−180/n, 90} gradoj, por entjera n=3, 4, 5, ... .

  • Regulaj konstrueblaj plurlateroj (n=0, 1, 2, 3, ...)
    • 3×2n-lateroj
      • 30°-60°-90° triangulo: triangulo (3-latero)
      • 60°-30°-90° triangulo: seslatero (6-latero)
      • 75°-15°-90° triangulo: dekdulatero (12-latero)
      • 82,5°-7,5°-90° triangulo: 24-latero
      • 86,25°-3,75°-90° triangulo: 48-latero
      • ...
    • 4×2n-lateroj
      • 45°-45°-90° triangulo: kvadrato (4-latero)
      • 67,5°-22,5°-90° triangulo: oklatero (8-latero)
      • 78,75°-11,25°-90° triangulo: 16-latero
      • ...
    • 5×2n-lateroj
      • 54°-36°-90° triangulo: kvinlatero (5-latero)
      • 72°-18°-90° triangulo: deklatero (10-latero)
      • 81°-9°-90° triangulo: 20-latero
      • 85,5°-4,5°-90° triangulo: 40-latero
      • 87,75°-2,25°-90° triangulo: 80-latero
      • ...
    • 15×2n-latero
      • 78°-12°-90° triangulo: 15-latero
      • 84°-6°-90° triangulo: 30-latero
      • 87°-3°-90° triangulo: 60-latero
      • 88,5°-1,5°-90° triangulo: 120-latero
      • 89,25°-0,75°-90° triangulo: 240-latero
    • Pli altaj konstrueblaj regulaj plurlateroj (17, 51, 85, 255, 257...) ne havas entjerajn gradajn angulojn
  • Regulaj nekonstrueblaj plurlateroj - finiaj esprimoj kun nur kvadrataj radikoj ne eblas (n=0, 1, 2, 3, ...)
    • 9×2n-latero
      • 70°-20°-90° triangulo: naŭlatero (9-latero)
      • 80°-10°-90° triangulo: 18-latero
      • 85°-5°-90° triangulo: 36-latero
      • 87,5°-2,5°-90° triangulo: 72-latero
      • ...
    • 45×2n-latero
      • 86°-4°-90° triangulo: 45-latero
      • 88°-2°-90° triangulo: 90-latero
      • 89°-1°-90° triangulo: 180-latero
      • 89,5°-0,5°-90° triangulo: 360-latero
      • ...

Tabelo[redakti | redakti fonton]

Valoroj ekster limigo [0°,45°] estas bagatele kalkuleblaj per formuloj por trigonometriaj funkcioj por koordinataj turnadoj kaj reflektoj.

0°: fundamenta[redakti | redakti fonton]

estas nedifinita

3°: 60-flanka plurlatero[redakti | redakti fonton]

6°: 30-flanka plurlatero[redakti | redakti fonton]

9°: 20-flanka plurlatero[redakti | redakti fonton]

Π/17: 17-flanka plurlatero[redakti | redakti fonton]

12°: 15-flanka plurlatero[redakti | redakti fonton]

15°: dekdulatero[redakti | redakti fonton]

18°: deklatero[redakti | redakti fonton]

20°: naŭlatero[redakti | redakti fonton]

Kompleksaj nombroj aperas dum kalkulo de la valoroj, tamen la rezulto estas reela.

21°[redakti | redakti fonton]

22,5°: oklatero[redakti | redakti fonton]

24°[redakti | redakti fonton]

27°[redakti | redakti fonton]

30°: seslatero[redakti | redakti fonton]

33°[redakti | redakti fonton]

36°: kvinlatero[redakti | redakti fonton]

39°[redakti | redakti fonton]

42°[redakti | redakti fonton]

45°: kvadrato[redakti | redakti fonton]

60°: egallatera triangulo[redakti | redakti fonton]

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]