Algebra strukturo
En pli alta matematiko, "algebra strukturo" estas loze-difinita termino signifanta la matematikajn objektojn tradicie studatajn en la kampo de abstrakta algebro: aroj kun operacioj.
En universala algebro, oni studas algebrajn strukturojn konsistantajn el aro kaj kolekto de operacioj difinitaj sur la aro kiu estas postulita kontentigi certajn identojn.
La vorto "strukturo" povas signi specifan matematikan objekton aŭ eĉ pli abstraktan koncepton. Ekzemple, la monstra grupo samtempe estas algebra strukturo, kaj ĝi havas algebran strukturon: la strukturon komunigitan de ĉiuj grupoj. Ĉi tiu artikolo uzas ambaŭ sencoj de la termino.
Strukturoj kies aksiomoj ĉiuj estas identecoj
Ĉiuj aksiomoj de strukturoj en ĉi tio sekcio estas identecoj, aŭ egalaĵoj, kiel ekzemple propraĵo de adicio ke a+b = b+a por ĉiuj a kaj b.
Simplaj strukturoj: Neniu duuma operacio:
- Aro: degenera algebra strukturo, havanta nul operaciojn difinitajn sur ĝi
- Punktita aro: aro S kun (invarianta, memkonjugita, normala) ero s de S
- Unuloka sistemo: aro S kun unuloka operacio, kio estas funkcio S → S
- Punktita unuloka sistemo: unuloka sistemo kun normala ero (tiaj objektoj okazas en diskutoj de la aksiomoj de Peano)
Grupoecaj strukturoj: Unu unuuma operacio
- Magmo aŭ grupoido: aro kun sola operacio (matematiko)
- Kvazaŭgrupo: magmo en kiu la operacio (matematiko) ĉiam havas inverson
- Lopo: kvazaŭgrupo kun neŭtra elemento
- Duongrupo: asocieca magmo
- Monoido: duongrupo kun identa ero
- Komuta grupo: komuta grupo
Ringoecaj strukturoj: Du duumaj operacioj
- Duonringo: aro kiu formas duone-grupon sub du malsamaj duumaj operacioj, kie unu el ili ("aldono") komutiĝas, (veriganta, kontentiganta) distribueco. Ĉi tiu la sama kiel ringo, sed sen kontraŭegaloj.
- Ringo: aro kun komuta grupa operacio kiel aldono, kaj ankaŭ monoida operacio kiel multipliko, (veriganta, kontentiganta) distribueco
- Rng: ringo sen multiplika idento.
- Komuta ringo: ringo kies multipliko estas komuta
- Algebro de Kleene: kvadrategala duonringo kun aldona unuloka operatoro (la Stelo de Kleene); ĉi tiuj estas modelita sur regulesprimoj
- Ringo: aro kun komuta grupa operacio kiel aldono, kaj ankaŭ monoida operacio kiel multipliko, (veriganta, kontentiganta) distribueco
Moduloj: Sistemoj difinitaj super du aroj, M kaj R:
- Modulo super donita ringo R: aro kun komuta grupa operacio kiel aldono, kaj ankaŭ alsuma unuloka operacio de skalara multipliko por ĉiu ero de R, kun asocieca kondiĉo liganta skalaran multiplikon al multipliko en R
- Vektora spaco: modulo (modela teorio) super kampo (vidu pli sube por kampoj)
- Alĝebro super kampo: modulo aŭ vektora spaco kaj ankaŭ dulineara operatoro kiel multipliko
- Asocieca alĝebro: alĝebro kies multipliko estas asocieca
- Komuta alĝebro: asocieca alĝebro, kies multipliko estas komuta
- Alĝebro de Lie: ne-asocieca alĝebro grava en geometrio
- Latisoj
- krado: aro kun du komutaj, asociecaj, kvadrategalaj operacioj, kontentigantaj la absorba leĝoabsorban leĝon
- Bulea algebro: distribueca, komplementa krado
Strukturoj kun aksiomoj kiuj ne estas identecoj
La strukturoj en ĉi sekcio ne estas variaĵoj, ĉar ili ne eblas aksiomigi ili sole per identecoj.
Unu ampleksigo de la koncepto de algebra strukturo estas studi arojn kun operacioj, kiuj devas kontentigi aksiomoj escepte identoj.
La pli supraj strukturoj estas ĉiuj formalaj sistemoj, ili konsistas pure el difinoj kaj ne metas iujn ajn limigajn kondiĉojn sur la strukturojn. En la difino de kampo pli sube estas la limiga kondiĉo 0 (la alsuma idento) ≠ 1 (la multiplika idento. Por ke tiu estu pure formala strukturo neniu tia kondiĉo devus lokiĝi. Tamen, se 0=1 tiam la strukturo kolapsas. De ĉi tie, necesa limigo (, ke, kiu) 0 ≠ 1 bezonas lokiĝi por certigi, ke ni havos utilan matematikan eternecon. Kvankam ĉi tiuj strukturoj sendube havas algebran gustigi, ili suferas de difektoj ne trovitaj en universala algebro. Ekzemple, ne ekzistas produto de du integrecaj ringoj, nek libera kampo super iu ajn aro.
- Integreca ringo: ringo kun 0 ≠ 1, kiu havas neniujn nuldivizorojn escepte 0
- Divida ringo, ankaŭ nomita dekliva kampo: integreca ringo kun inversa operacio (la inversa operacio estas ne difinita por la alsuma idento)
- Kampo: komuta divida ringo
- Artinian-ringo: ringo kiu kontentigas la descendantan ĉenan kondiĉon sur idealoj.
- Aritmetikaĵoj
- Kamp-similaj strukturoj
Kombinitaj sistemoj: vektoraj spacoj kaj algebroj sur kampoj
- Tri duumaj operacioj
- Kvar duumaj operacioj
- Kombinitaj sistemoj
- multliniaraj algebroj
Ekzemploj
- La (ne-nulo) naturaj nombroj kun aldono (+) estas magmo.
- La nenegativaj entjeroj sub aldono estas magmo kun idento.
- La entjeroj Z kun subtraho (−) formas kvazaŭgrupon.
- La nenulo racionaloj Q kun divido (÷) formas kvazaŭgrupon.
- Grup-similaj strukturoj
- Ĉiu grupo estas ciklo, ĉar a * x = b se kaj nur se x = a−1 * b, kaj y * a = b se kaj nur se y = b * a−1.
- La entjeroj Z kun aldono (+) formas komutan grupon.
- La ne-nulo racionaloj Q kun multipliko (×) formas komutan grupon.
- Du per du matricoj kun multipliko ariĝi (ne komuta).
- Ĉiu cikla grupo G estas abela, ĉar se x, y estas en G, tiam _xy_ = aman = am + n = an + m = anam = _yx_. En aparta, la entjeroj Z formas komutan grupon sub aldono, kiel fari la entjeroj module n
Z/nZ.
- Plui ekzemploj povas troviĝi en ekzemploj de grupoj.
- Ring-similaj strukturoj
- La naturaj nombroj (inkluzivanta nulon), kun la ordinara aldono kaj multipliko estas komuta duonringo.
- La aro R[X] de ĉiuj polinomoj super iu koeficienta ringo R formas ringon.
- Du per du matricoj kun aldono kaj multipliko formas ringon (ne komutan).
- Finia ringo: Se n estas pozitiva entjero, tiam la aro Zn = Z/nZ de entjeroj module n (kiel adicia grupo la cikla grupo de ordo n ) formas ringon kun n eroj (vidu artikolon modula aritmetiko).
- Integrecaj ringoj
- La entjeroj kun la du operacioj de aldono kaj multipliko formas integrecan ringon.
- La p-adic-aj entjeroj.
- Kampoj
- La racionalaj nombroj kun aldono kaj multipliko formas kampon.
- La reelaj nombroj R, sub la kutimaj operacioj aldono kaj multipliko.
- La reelaj nombroj enhavas kelkajn interesajn subkorpojn: la reelaj algebraj nombroj, la komputeblaj nombroj, kaj la difineblaj nombroj.
- Kiam la reelaj nombroj estas donitaj la kutima (ordenanta, mendanta, ordanta, dimensianta, komandanta, ordigo) ili formas plenumi ordita kampo kiu estas kategoria — ĝi estas ĉi tiun strukturon kiu provizas la fundamenton por plej formalaj traktoj de kalkulo.
- La kompleksaj nombroj C, sub la kutimaj operacioj aldono kaj multipliko.
- Algebra nombra kampo estas finia kampa vastigaĵo de la racionalaj nombroj Q, tio estas, kampo enhavanta Q kiu havas finian dimension kiel vektora spaco super Q. Tiaj kampoj estas tre gravaj en nombroteorio.
- Se q > 1 estas povo de primo, tiam tie ekzistas (supren al izomorfio) akurate unu finia kampo kun q eroj, kutime signifis Fq, Z/qZ, aŭ Gf(q). Ĉiu alia finia kampo estas izomorfia al unu el ĉi tiuj kampoj. Tiaj kampoj estas ofte nomitaj Galeza kampo, kien la notacio Gf(q).
- Donite primon p, la aro de entjeroj module p estas finia kampo kun p eroj: Fp = {0, 1, …, p − 1} kie la operacioj estas difinitaj per plenumado de la operacio en Z, dividanta per p kaj prenante la reston; vidu artikolon modula aritmetiko.
Permesado de aldona strukturo
Algebraj strukturoj povas ankaŭ esti difinitaj sur aroj kun aldona ne-algebra strukturo, kiel topologia spaco. La algebra strukturo estas postulita esti iel kongrua kun la aldona strukturo.
- Ordita grupo: grupo kun kongrua parta ordo
- Lineare ordita grupo: grupo kun kongrua lineara ordo
- Arĥimeda grupo: lineare ordita grupo por kiu validas la Arĥimeda propraĵo
- Topologia grupo: grupo kun kongrua topologio
- Grupo de Lie: grupo kun kongrua dukto strukturo
- Gradita algebro: algebro kun "gradoj"
- Clifford-algebro: asocieca algebro difinita per kvadrata formo sur vektora spaco
- Topologia vektora spaco: vektora spaco kun kongrua topologio
Teorio de kategorioj
Ĉiu algebra strukturo havas sian propran nocion de homomorfio, nome iu ajn funkcio kiu estas kongrua kun la donita(j) operacio(j) difinanta(j) la strukturon. Tiamaniere, ĉiu algebra strukturo difinas kategorion.
Ekzemple, la kategorio de grupoj havas ĉiujn grupojn kiel objektojn kaj ĉiujn grupajn homomorfiojn kiel strukturkonservantajn transformojn. Ĉi tiu konkreta kategorio povas esti konsideratata kiel kategorio de aroj kun aldonita strukturo en la kategorio-teoria senco. Simile, la kategorio de topologiaj grupoj (kun kontinuaj grupaj homomorfioj kiel strukturkonservantaj transformoj) estas kategorio de topologiaj spacoj kun superflua strukturo.
Estas diversaj konceptoj en la teorio de kategorioj kiuj provas enkapti la algebran karakteron de ĉirkaŭteksto, ekzemple
- algebreca
- esence algebreca
- prezentebla
- loke prezentebla
- universala propraĵo
Vidu ankaŭ
- Abstrakta algebro
- Teorio de kategorioj
- Libera objekto
- Listo de algebraj strukturoj
- Listo de unuaordaj teorioj
- Universala algebro
- Diversaĵo (universala algebro)
Referencoj
- Garrett Birkhoff kaj Saunders MacLane, 1999 (1967). Algebra, 2nd ed. Chelsea.
- Michel, Anthony N., kaj Herget, Charles J., 1993 (1981). Applied Algebra and Functional Analysis. Dover.
Monografo senpage havebla perrete:
- Burris, Stanley N., kaj H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.
Teorio de kategorioj:
- Mac Lane, Saunders (1998) Categories for the Working Mathematician. 2nd ed. (Graduate Texts in Mathematics 5). Springer-Verlag.
- Taylor, Paul, 1999. Practical Foundations of Mathematics. Cambridge University Press.