Aritmetiko

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Jump to navigation Jump to search
Aritmetikajn tabelojn por infanoj, Laŭzano, 1835.

Aritmetiko estas branĉo de matematiko, studanta la naturon kaj proprecojn de nombroj kaj speciale la proprecojn de la tradiciaj operacioj kiujn oni farispere de ili — nome adicio, subtraho, multipliko kaj divido. Ĝi inkluzivas ankaŭ la studon pri algoritmoj kaj operacioj super entjeroj kaj frakcioj, kvocientoj, proporcioj, procentoj. La nomo devenas de la vorto ἀριθμός arithmos, kiu signifas "nombron" en greka lingvo.

La moderna aritmetiko ne okupiĝas nur pri elementaj kalkuloj, sed pri gravaj ecoj de entjeroj (primeco, plej granda komuna divizoro, primaj faktoroj ktp.) kaj similaj ecoj de aliaj objektoj (ekzemple elementoj de ringoj). Evoluo de Aritmetiko venigis al apartigo de novaj matematikaj branĉoj: Algebro kaj Nombroteorio.

Historio[redakti | redakti fonton]

La prahistorio de aritmetiko estas limigita al malgranda nombro de artifaktoj kiuj povas indiki la koncepton de adicio kaj subtraho, kies plej bone konata restaĵo estas la Iŝanga osto el centra Afriko, kiu datas el iam inter 20,000 kaj 18,000 jaroj a.K., kvankam ties interpretado estas disputata.[1]

La plej fruaj verkitaj registroj indikis ke jam en Antikva Egipto kaj Babilono oni uzis ĉiujn operaciojn de elementa aritmetiko tiom frue kiom ĉe 2000 a.K. Tiuj artifaktoj ne ĉiam pruvas la specifan procezon uzitan por solvi problemojn, sed la karakteroj de la partikulara nombrosistemo forte influas la komplikecon de metodoj. La hieroglifa sistemo de la egiptaj ciferoj, same kiel la postaj Romaj ciferoj, descendis el la kalkulaj markoj uzitaj populare por kalkuladi. Ambaŭokaze, tiu deveno rezultis en valoroj kiuj uzis dekuman bazon, sed ne inkludis pozician nombrosistemon. Kompleksa kalculado pere de romaj ciferoj postulis la helpon de kalkultabulo aŭ de abako por havi la rezultojn.

La plej fruaj nombrosistemoj kiuj inkludis pozician nombrosistemon ne estis dekumaj, kiel la sesdekuma sistemo (kun bazo en 60) de la Babilonaj ciferoj kaj la dudekuma sistemo (kun bazo en 20) en kiu konsistis la ciferoj de Majaoj. Pro tiu pozici-valora koncepto, la kapablo reuzi la samajn ciferojn por diferencaj valoroj kontribuis al pli simplaj kaj pli efikaj metodoj de kalkulo.

Skulptaĵo reprezentanta Eŭklidon, Oxford University Museum.

La kontinua historia disvolvigo de la moderna aritmetiko startas ĉe la Helenisma Epoko de Antikva Grekio, kvankam ĝi originiĝis multe pli poste ol la menciitaj ekzemploj de Babilonanoj kaj Egiptianoj. Antaŭ la verkoj de Eŭklido de ĉirkaŭ la jaro 300 a.K., Grekaj matematikistoj koincidis kun la filozofiaj kaj mistikismaj kredoj. Por ekzemplo, Nikomaĥo resumis la vidpunktojn de la pli frua Pitagorisma alproksimiĝo al nombroj, kaj ties rilataro de unu kun alia, en sia Enkonduko al Aritmetiko.

La Grekaj ciferoj estis uzitaj de Arkimedo, Diofanto kaj aliaj en pozicia notacio ne tre diferenca el la nuntempa. Mankis al la antikvaj grekoj simbolo por nulo ĝis la Helenisma Epoko, kaj ili uzis tri apartajn seriojn de simboloj kiel ciferoj: nome unu serio por la lokoj de unuoj, alia por la lokoj de dekoj, kaj alia tria por la lokoj de centoj. Por la loko de miloj ili uzis la simbolojn de la unuoloko, kaj tiel plu. Ties aldona algoritmo estis identa al tiu nuntempa, kaj ties multiplika algoritmo estis nur tre malmulte diferenca. Ties longa dividalgoritmo estis la sama, kaj la algoritmo por kalkuli kvadratajn radikojn, populare uzita ĝis tiom ĵuse kiom ĝis la 20a jarcento, estis konata de Arkimedo, kiu eble inventis ĝin. Li fakte preferis ĝin al la metodo de Herono de sinsekva alproksimiĝo ĉar, kalkulita, cifero ne ŝanĝas, kaj la kvadrataj radikoj de perfektaj kvadratoj, kiaj 7485696, finas tuj kiel 2736. Ĉe ciferoj kun frakcia parto, kiel 546.934, ili uzis negativajn potencojn de 60 anstataŭ negativajn potencojn de 10 por la frakcia parto 0.934.[2]

La antikvaj ĉinoj progresis en aritmetikaj studoj el la Dinastio Ŝang kaj pluis tra la Dinastio Tang, el bazaj ciferoj al antaŭenirinta algebro. La antikvaj ĉinoj uzis pozician notacio similan al tiu de la grekoj. Ĉar ankaŭ al ili mankis simbolo por nulo, ili havis unu serion de simboloj por la loko de unuoj, kaj duan serion por la loko de dekoj. Por por la loko de centoj, ili reuzis la simbolojn de la loko de unuoj, kaj tiel plu. Iliaj simboloj estis bazitaj sur la antikvaj kalkulbastonetoj. Estas komplika demando determini precize kiam la ĉinoj ekkalkulis per pozicia reprezentado, sed ĝi certe okazis definitive antaŭ la jaro 400 a.K.[3] La antikvaj ĉinoj estis la unuaj kiuj klare malkovris, komprenis, kaj aplikis negativajn nombrojn kiel oni klarigas en la verko Naŭ ĉapitroj pri la matematika arto (Ĝiuĵang Suanŝu), kiu estis verkita de Liu Hui.

La laŭgrada disvolvigo de la Hind–arabaj ciferoj sendepende de la difinita loko-valora koncepto kaj pozicia notacio, kiu kombinis la pli simplajn metodojn por kalkuloj per dekuma bazo kaj la uzadon de cifero reprezentante nulon. Tio ebligis ke la sistemo konsiste reprezentu kaj grandajn kaj malgrandajn entjerojn. Tiu alproksimiĝo finfine anstataŭis ĉiujn aliajn sistemojn. En la komenco de la 6a jarcento p.K., la hindia matematikisto Aryabhata aligis ekzistintan version de tiu sistemo en sia verko, kaj eksperimentis per diversaj notacioj. En la 7a jarcento, Brahmagupta establis la uzadon de 0 (nulo) kiel aparta cifero kaj determinis la rezultojn por multiplikado, divido, sumo kaj subtraho de nulo kaj de ĉiuj aliaj ciferoj, escepte ĉe la rezulto de divido per nulo. Liatempa, la siriaka episkopo Severo Seboĥt (650) diris, "Hindianoj posedas kalkulmetodon kiu ne estas sufiĉe laŭdita. Ties racia sistemo de matematiko, aŭ ties kalkulmetodo. Mi celas la sistemon kiu uzas naŭ simbolojn."[4] Ankaŭ la araboj lernis tiun novan metodon kaj nomis ĝin hesab.

La Radokalkulilo de Leibniz estis la unua kalkulilo kiu povis plenumi la kvar aritmetikajn operaciojn.

Kvankam la Codex Vigilanus priskribis fruan formon de Arabaj ciferoj (sen 0) ĉirkaŭ la jaro 976, Leonardo de Pisa (Fibonacci) estis ĉefa respondeco pri la etendo de ties uzado tra Eŭropo post la publikigo de sia libro Liber Abaci en 1202. Li verkis, "La metodo de hindianoj (Latine Modus Indoram) surpasas ajnan konatan metodon por kalkuli. Ĝi estas mirinda metodo. Ili faras siajn kalkulojn uzante naŭ ciferojn kaj simbolon por nulo".[5]

En la Mezepoko, aritmetiko estis unu el la sep liberaj artoj instruataj en universitatoj.

La florado de algebro en la mezepoka Islama mondo kaj en la renesanca Eŭropo estis elkreskaĵo de la enorma simpligo de kalkulado pere de dekuma notacio.

Variaj tipoj de iloj estis inventitaj kaj amplekse uzataj por helpi en la nombra kalkulado. Antaŭ la Renesanco, ili estis variaj tipoj de abakoj. Pli ĵusaj ekzemploj estas glitkalkuliloj, nomografoj kaj mekanikaj kalkuliloj, kiaj la Paskala kalkulilo. Nuntempe, ili estis anstataŭitaj de elektronikaj kalkuliloj kaj komputiloj.

Aritmetikaj operacioj[redakti | redakti fonton]

La bazaj aritmetikaj operacioj estas adicio, subtraho, multipliko kaj divido, kvankam oni inkludas ankaŭ pliajn antaŭnirintajn operaciojn, kiel manipulado de procentoj, kvadrataj radikoj, eksponentado, kaj logaritmaj funkcioj. Aritmetiko estas plenumita laŭ ordo de operacioj.

Adicio[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Adicio.

Adicio estas operacio por trovi la sumon de nombroj aŭ kvantoj. La signo de adicio estas + (plus). Se ni adicias 5 kaj 3, ni ricevos 8. 5 kaj 3 estas la adiciatoj, 8 estas la sum-valoro. Precise ni nomu la termon '5 + 3' sum-termon aŭ sum-esprimon, sed fak-mallonge ofte ankaŭ nur sumon.

Subtraho[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Subtraho.

Subtraho (ankaŭ skribita subtraĥo) estas operacio por trovi la diferencon inter unua nombro (aŭ kvanto) kaj dua nombro (aŭ kvanto); La signo de subtraho estas − (minus). Ekz. ĉe la subtraho: 9−6=3 oni diras, ke 9 estas la malpliigato, 6 estas la subtrahanto, 3 estas la diferenco. Ĝia kontraŭa operacio estas la adicio.

Multipliko[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Multipliko.

En matematiko, multipliko aŭ obligo estas duargumenta operacio. Ĝi povas esti aplikata al diversaj objektoj. Argumentoj de multipliko estas faktoroj kaj la rezulto estas produto.

Divido[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Divido.

En matematiko, aparte en elementa aritmetiko, divido estas aritmetika operacio kiu estas la inverso de multipliko.

Specife, se kie b estas ne nulo, tiam

kio estas, a dividita per b egalas al c. Oni povas pli koncize legi kiel "a sur b egala al c".

Nombroteorio[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Nombroteorio.

Nombroteorio estas branĉo de matematiko, dediĉita al la studo de proprecoj de entjeroj kaj ĝiaj ĝeneraligoj (ekz. algebraj entjeroj). La demandoj pri la plej granda komuna divizoro, la plej malgranda komuna oblo, malkomponado je primoj, prezento de natura nombro en iu certa formo, ĝia dividebleco kaj aliaj temoj estas studobjektoj de la nombroteorio. Ĝi inkluzivas ankaŭ: teorion de komparoj, diofantaj ekvacioj, katenfrakcioj, diofantaj alproksimiĝoj, transcendaj ekvacioj k.a. Ek de la 1980-aj jaroj nombroteorio trovis surprizajn aplikojn en ĉifrado (kriptografio); ĝi ebligis la unuajn nesimetriajn ĉifrojn. En speciala literaturo oni ofte trovas ankaŭ sinonimajn terminojn – Teorio de NombrojTeorio pri Nombroj.

Aritmetikaj konceptoj[redakti | redakti fonton]

Operacioj[redakti | redakti fonton]

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Notoj[redakti | redakti fonton]

  1. RUDMAN, Peter Strom. (2007) How Mathematics Happened: The First 50,000 Years. Prometheus Books. ISBN 978-1-59102-477-4.
  2. The Works of Archimedes, Chapter IV, Arithmetic in Archimedes, eldonita de T.L. Heath, Dover Publications Inc, New York, 2002.
  3. Joseph Needham, Science and Civilization in China, Vol. 3, p. 9, Cambridge University Press, 1959.
  4. Reference: Revue de l'Orient Chretien de François Nau pp.327-338. (1929)
  5. Reference: Sigler, L., "Fibonacci's Liber Abaci", Springer, 2003.

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]

  • En tiu ĉi artikolo estas uzita traduko de teksto el la artikolo Arithmetic en la angla Vikipedio.