La paradokso de Bertrand, nomita laŭ Joseph Bertrand (1822-1900),[1] en stokastiko demonstras, ke probabloj ne nepre estas bone difinitaj, se la baza probabla spaco respektive la metodo, kiu produktas la interesan stokastan variablon, ne estas klare difinita.
Konsideru cirklon kaj enskribitan egallateran triangulon. Unu cirkla ĥordo estas hazarde elektita. Kiom probabla estas, ke la ĥordo estas pli longa ol unu flanko de la triangulo?
Bertrand donis tri vojojn por solvi la problemon, ili ĉiuj ŝajnas validaj, sed donas malsamajn rezultojn.
Hazardaj ĥordoj, metodo 1; ruĝa = pli longa ol triangula flanko, blua = pli mallonga La metodo de "hazardaj finpunktoj": Du punktoj sur la cirkonferenco estas konektita por krei ĥordon. Por kalkuli la probablon, la triangulo estas rotaciita tiel, ke unu vertico de la triangulo koincidas kun unu el la finpunktoj. Dependas nun, kie la alia finpunkto kuŝas. Se ĝi troviĝas sur sur tiu segmento de la cirkonferenco, kiu estas inter la aliaj du verticoj de la triangulo, tiam la ĥordo estas pli longa ol la triangulo flanko. La longeco de tiu segmento estas unu-triono de la cirkonferenco de la cirklo, do la probablo, ke la ĥordo estas pli longa ol la flanko de la triangulo, egalas al 1/3.
Hazardaj ĥordoj, metodo 2 La metodo de "hazarda radiuso": iu radiuso kaj hazarda punkto sur la radiuso estas elektitaj kaj la ĥordo estas orta al la radiuso tra la punkto prenita. Por kalkuli la probablon, la triangulo estas rotaciita tiel, ke unu latero estas orta al la elektita radiuso. La ĥordo estas pli longa ol la triangula latero, se la hazarde elektita punkto estas pli proksima al la centro de la cirklo ol la punkto de intersekco de la triangula latero kun la radiuso. La flanko de la triangulo duonigas la radiuson. Do la probablo, ke la ĥordo estas pli longa ol la latero de la triangulo estas egala al 1/2.
Hazardaj ĥordoj, metodo 3 La metodo de "hazarda mezpunkto": hazarda punkto en la interno de la cirklo estas elektita kaj la ĥordo konstruita kun tiu punkto kiel centro. La ĥordo estas pli longa ol la triangulo latero, se la hazarde elektita punkto kuŝas ene de koncentra cirklo kun la duona radiuso de la ekstera cirklo. La areo de la malgranda cirklo estas unu kvarono de la areo de la granda cirklo, do la probablo, ke la ĥordo estas pli longa ol la latero de la triangulo, egalas al 1/4.
La elektitaj metodoj povas esti rigarditaj tiamaniere: ĉiu ĥordo estas unusence difinita per ĝia centra punkto. Ĉiu el la tri prezentitaj metodoj rezultas en malsama distribuo de centraj punktoj: La metodoj 1 kaj 2 rezultas en du malsamaj, ne-uniformaj distribuoj, metodo 3 produktas uniforman distribuon. Aliflanke la ĥordoj de metodo 2 estas pli regule distribuitaj super la cirklo ol la aliaj du metodoj.
Centraj punktoj de laŭ metodo 1 hazarde elektitaj ĥordoj
Centraj punktoj de laŭ metodo 2 hazarde elektitaj ĥordoj
Centraj punktoj de laŭ metodo 3 hazarde elektitaj ĥordoj
Laŭ metodo 1 hazarde elektitaj ĥordoj
Laŭ metodo 2 hazarde elektitaj ĥordoj
Laŭ metodo 3 hazarde elektitaj ĥordoj
Multaj el la aliaj penseblaj metodoj, elekti ĥordon, gvidas al malsamaj probabloj.
