Cirkla segmento

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Cirkla segmento (flava)

En geometrio, cirkla segmento aŭ iam simple segmento estas parto de disko (ebena figuro limigita per cirklo) limigita per ĝiaj ĥordo kaj arko. Ĝi povas esti ricevita per fortranĉo de la cetera parto de la disko per sekcanta rekto.

Estu R radiuso de la cirklo,

θ la centra angulo de segmento en radianoj,
c longo de la ĥordo,
s longo de la arko,
h alto de la segmento - distanco inter mezpunkto de la arko kaj la ĥordo.

Tiam:

  • La arka longo estas s = Rθ
  • La areo de la segmento estas A = \frac{R^2(\theta-\sin\theta)}{2}
  • La ĥorda longo estas c = 2R\sin\frac{\theta}{2} = R\sqrt{2-2\cos\theta}
  • La alto estas h = R(1-\cos\frac{\theta}{2})

Pruvo de formulo por areo[redakti | redakti fonton]

Estu cirkla sektoro kun la sama arko kiel la konsiderata segmento. Tiam ili havas la samajn radiuson kaj la saman centran angulon.

Areo de la cirkla sektoro estas  A_1 = \frac{1}{2} R^2 \theta

Konsideru komence okazon ke θ<π. Tiam areo A de segmento estas areo A1 de la sektoro minus areo A2 de triangulo, formita per la radiusaj strekoj de la sektoro kaj ĥordo de la segmento. Oni dusekcu la angulon θ, kaj tiel ankaŭ la triangulon, rezultiĝas du trianguloj, ĉiu havanta areon

A_3 = \frac{1}{2} R\sin \frac{\theta}{2} R\cos \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} R^2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}

Pro tio ke sin x cos x = (sin (2x))/2

A_3 = \frac{1}{4} R^2 \sin \theta

Tiam areo de la fonta triangulo estas duoble pli granda:

 A_2 = 2A_3 = \frac{1}{2} R^2 \sin \theta

Tiel

A = A_1 - A_2 = \frac{1}{2} R^2 (\theta - \sin \theta)

Se θ>π tiam areo A de segmento estas areo A1 de la sektoro plus areo A2 de la triangulo. Sed la supre donita formulo por A2 tiam ŝanĝas la signon, ĉar sin θ estas negativa por θ>π, kaj do la rezultanta formulo restas vera.

Se θ=π tiam la tringulo degeneriĝas kaj la segmento havas la saman areon kiel la sektoro. Sed laŭ la supre donita formulo A2=0 ĉar sin θ=0 por θ=π, kaj do la rezultanta formulo restas vera.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]