El Vikipedio, la libera enciklopedio
Por fono pli la temo, vidu artikolon derivaĵo (matematiko) . Estu f (x ) = 5:
f
′
(
x
)
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
=
lim
h
→
0
5
−
5
h
=
0
{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {5-5}{h}}=0}
La derivaĵo de konstanta funkcio estas nulo.
Konsideru grafikaĵon de
f
(
x
)
=
2
x
−
3
{\displaystyle f(x)=2x-3}
algebro kaj la karteziaj koordinatoj , eblas difini ke ĉi tiu linio havas inklinon 2 je ĉiu punkto. Uzante la pli supran rilatumon oni povas difini la inklinon je (4,5):
f
′
(
4
)
{\displaystyle f'(4)\,}
=
lim
h
→
0
f
(
4
+
h
)
−
f
(
4
)
h
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(4+h)-f(4)}{h}}}
=
lim
h
→
0
2
(
4
+
h
)
−
3
−
(
2
⋅
4
−
3
)
h
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2(4+h)-3-(2\cdot 4-3)}{h}}}
=
lim
h
→
0
8
+
2
h
−
3
−
8
+
3
h
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {8+2h-3-8+3}{h}}}
=
lim
h
→
0
2
h
h
=
2
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2h}{h}}=2}
kaj vere la derivaĵo kaj inklino estas ekvivalento.
Tra diferencialado, oni povas trovi inklinon de kurbo. Estu
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)\,}
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}
=
lim
h
→
0
(
x
+
h
)
2
−
x
2
h
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)^{2}-x^{2}}{h}}}
=
lim
h
→
0
x
2
+
2
x
h
+
h
2
−
x
2
h
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}}}
=
lim
h
→
0
2
x
h
+
h
2
h
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2xh+h^{2}}{h}}}
=
lim
h
→
0
(
2
x
+
h
)
=
2
x
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}(2x+h)=2x}
Por ĉiu punkto x , la inklino de la funkcio
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
f
′
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle f'(x)=2x}
Estu f (x ) = √x :
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)\,}
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}
=
lim
h
→
0
x
+
h
−
x
h
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {{\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}}}{h}}}
=
lim
h
→
0
(
x
+
h
−
x
)
(
x
+
h
+
x
)
h
(
x
+
h
+
x
)
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {({\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}})({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}}
=
lim
h
→
0
x
+
h
−
x
h
(
x
+
h
+
x
)
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {x+h-x}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}}
=
lim
h
→
0
1
x
+
h
+
x
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {1}{{\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}}}}}
=
1
2
x
{\displaystyle ={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}
La sama funkcio kiel en la antaŭa ekzemplo, sed nun oni serĉu derivaĵon de la derivaĵo.f (x ) = √x :
f
″
(
x
)
{\displaystyle f''(x)\,}
=
lim
h
→
0
f
′
(
x
+
h
)
−
f
′
(
x
)
h
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}}
=
lim
h
→
0
1
2
x
+
h
−
1
2
x
h
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {{\frac {1}{2{\sqrt {x+h}}}}-{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}{h}}}
=
lim
h
→
0
(
1
2
x
+
h
−
1
2
x
)
(
2
x
+
h
+
2
x
)
h
(
2
x
+
h
+
2
x
)
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left({\frac {1}{2{\sqrt {x+h}}}}-{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\right)(2{\sqrt {x+h}}+2{\sqrt {x}})}{h(2{\sqrt {x+h}}+2{\sqrt {x}})}}}
=
lim
h
→
0
2
x
2
x
+
h
−
2
x
+
h
2
x
h
(
2
x
+
h
+
2
x
)
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {{\frac {2{\sqrt {x}}}{2{\sqrt {x+h}}}}-{\frac {2{\sqrt {x+h}}}{2{\sqrt {x}}}}}{h(2{\sqrt {x+h}}+2{\sqrt {x}})}}}
=
lim
h
→
0
x
x
x
+
h
−
x
+
h
x
x
+
h
h
(
2
x
+
h
+
2
x
)
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {{\frac {x}{{\sqrt {x}}{\sqrt {x+h}}}}-{\frac {x+h}{{\sqrt {x}}{\sqrt {x+h}}}}}{h(2{\sqrt {x+h}}+2{\sqrt {x}})}}}
=
lim
h
→
0
−
h
x
x
+
h
h
(
2
x
+
h
+
2
x
)
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\frac {-h}{{\sqrt {x}}{\sqrt {x+h}}}}{h(2{\sqrt {x+h}}+2{\sqrt {x}})}}}
=
lim
h
→
0
−
1
x
x
+
h
(
2
x
+
h
+
2
x
)
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {-1}{{\sqrt {x}}{\sqrt {x+h}}(2{\sqrt {x+h}}+2{\sqrt {x}})}}}
=
lim
h
→
0
−
1
2
x
(
x
+
h
)
+
2
x
x
+
h
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {-1}{2{\sqrt {x}}(x+h)+2x{\sqrt {x+h}}}}}
=
−
1
4
x
x
{\displaystyle ={\frac {-1}{4x{\sqrt {x}}}}}
