En matematiko , produta regulo aŭ leĝo de Leibniz estas formulo donanta derivaĵon de produto de funkcioj. Estu f(x) kaj g(x) esti du diferencialeblaj funkcioj de x . Tiam
(f·g)'=f·g'+g·f' aŭ en la alia skribmaniero:
d
(
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
)
d
x
=
f
(
x
)
⋅
d
g
(
x
)
d
x
+
g
(
x
)
⋅
d
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {d(f(x)\cdot g(x)) \over dx}=f(x)\cdot {dg(x) \over dx}+g(x)\cdot {df(x) \over dx}}
Trovu derivaĵon de f(x) = x2 . Ĉi tiu funkcio povas esti skribita kiel f(x) = x·x kaj per uzo de la produta regulo
d
(
x
2
)
d
x
=
d
(
x
⋅
x
)
d
x
=
x
⋅
d
x
d
x
+
x
⋅
d
x
d
x
=
x
+
x
=
2
x
{\displaystyle {\frac {d(x^{2})}{dx}}={\frac {d(x\cdot x)}{dx}}=x\cdot {\frac {dx}{dx}}+x\cdot {\frac {dx}{dx}}=x+x=2x}
Trovu derivaĵon de f(x) = x3 . Ĉi tiu funkcio povas esti skribita kiel f(x) = x2 ·x kaj
d
(
x
3
)
d
x
=
d
(
x
2
⋅
x
)
d
x
=
x
2
⋅
d
x
d
x
+
x
⋅
d
(
x
2
)
d
x
{\displaystyle {\frac {d(x^{3})}{dx}}={\frac {d(x^{2}\cdot x)}{dx}}=x^{2}\cdot {\frac {dx}{dx}}+x\cdot {\frac {d(x^{2})}{dx}}}
El la antaŭa ekzemplo prenu la formulon por
d
(
x
2
)
d
x
{\displaystyle {\frac {d(x^{2})}{dx}}}
d
(
x
3
)
d
x
=
x
2
+
x
⋅
2
x
=
3
x
2
{\displaystyle {\frac {d(x^{3})}{dx}}=x^{2}+x\cdot 2x=3x^{2}}
Trovu derivaĵon de f(x) = x2 sin (x) .
d
(
x
2
⋅
sin
(
x
)
)
d
x
=
x
2
⋅
d
sin
(
x
)
d
x
+
sin
(
x
)
⋅
d
(
x
2
)
d
x
{\displaystyle {\frac {d(x^{2}\cdot \sin(x))}{dx}}=x^{2}\cdot {\frac {d\sin(x)}{dx}}+\sin(x)\cdot {\frac {d(x^{2})}{dx}}}
Derivaĵo de sin(x) estas cos(x) kaj do
d
(
x
2
⋅
sin
(
x
)
)
d
x
=
x
2
c
o
s
(
x
)
+
2
x
sin
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d(x^{2}\cdot \sin(x))}{dx}}=x^{2}cos(x)+2x\,\sin(x)}
Speciff okazo de la produta regulo estas la konstanta multiplika regulo kiuj ststas ke se c estas konstanto (ne dependas de x ) kaj f(x) estas diferencialebla funkcio, tiam cf(x) estas ankaŭ diferencialebla, kaj ĝia derivaĵo estas
d
(
c
f
(
x
)
)
d
x
=
c
⋅
d
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\frac {d(cf(x))}{dx}}=c\cdot {\frac {df(x)}{dx}}}
ĉar
d
c
d
x
=
0
{\displaystyle {\frac {dc}{dx}}=0}
La produta regulo donas la malfortan version de la regulo de derivaĵo de kvociento . Ĝi estas malforta versio en tio ke ĝi ne pruvas ke la kvociento estas diferencialebla, sed nur statas kio estas ĝia derivaĵo se estas ĝi estas diferencialebla. f(x)(g(x + h) - g(x)) + g(x + h)(f(x + h) - f(x)) Ĉi tiu pruvo estas simila al la pruvo pli supre. Estu
y(x) = f(x)g(x) Laŭ difino de derivaĵo
d
y
(
x
)
d
x
=
lim
h
→
0
y
(
x
+
h
)
−
y
(
x
)
h
{\displaystyle {\frac {dy(x)}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {y(x+h)-y(x)}{h}}}
kaj do
d
y
(
x
)
d
x
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
g
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
h
{\displaystyle {\frac {dy(x)}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}}
Por plisimpligi la limigon oni adiciu kaj subtrahu termon f(x)g(x + h) al la numeratoro, tiam rezultas
d
y
(
x
)
d
x
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
g
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
g
(
x
+
h
)
h
{\displaystyle {\frac {dy(x)}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x+h)}{h}}}
Tiam eblas faktorigi partojn de la numeratoro
d
y
(
x
)
d
x
=
lim
h
→
0
f
(
x
)
(
g
(
x
+
h
)
−
g
(
x
)
)
+
g
(
x
+
h
)
(
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
)
h
{\displaystyle {\frac {dy(x)}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x)(g(x+h)-g(x))+g(x+h)(f(x+h)-f(x))}{h}}}
La frakcio estas disdividiĝas en du frakciojn
d
y
(
x
)
d
x
=
lim
h
→
0
(
f
(
x
)
g
(
x
+
h
)
−
g
(
x
)
h
+
g
(
x
+
h
)
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
)
{\displaystyle {\frac {dy(x)}{dx}}=\lim _{h\to 0}\left(f(x){\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}+g(x+h){\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right)}
Pro tio ke g(x) estas diferencialebla ĝi estas kontinua je x kaj do
lim
h
→
0
g
(
x
+
h
)
{\displaystyle \lim _{h\to 0}g(x+h)}
g(x) . Krome, f(x) ne dependas de h kaj povas esti eligita el la limigo kiel konstanta faktoro. Tiel la limigo povas esti aplikata aparte al eroj de la esprimo
d
y
(
x
)
d
x
=
f
(
x
)
lim
h
→
0
g
(
x
+
h
)
−
g
(
x
)
h
+
(
lim
h
→
0
g
(
x
+
h
)
)
(
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
)
{\displaystyle {\frac {dy(x)}{dx}}=f(x)\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}+(\lim _{h\to 0}g(x+h))\left(\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right)}
La difinoj de derivaĵoj de f(x) kaj g(x)
d
f
(
x
)
d
x
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
{\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}
d
g
(
x
)
d
x
=
lim
h
→
0
g
(
x
+
h
)
−
g
(
x
)
h
{\displaystyle {\frac {dg(x)}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}
Povas esti uzataj por anstataŭigi erojn de la antaŭ esprimo kaj rezultas la produta regulo
d
y
(
x
)
d
x
=
f
(
x
)
d
g
(
x
)
d
x
+
g
(
x
)
d
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\frac {dy(x)}{dx}}=f(x){\frac {dg(x)}{dx}}+g(x){\frac {df(x)}{dx}}}
Funkcio f(x) = g(x)h(x) povas esti konsiderata kiel funkcio de du variabloj g kaj h , ĉiu el kiuj en sia vico estas funkcio de x .
Ambaŭ partaj derivaĵoj de f je g kaj h povas esti trovitaj:
∂
f
∂
g
=
h
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial g}}=h}
kie h estas konsiderata kiel konstanto; kaj
∂
f
∂
h
=
g
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial h}}=g}
kie g estas konsiderata kiel konstanto.
Tiam
d
f
d
x
=
∂
f
∂
g
g
′
(
x
)
+
∂
f
∂
h
h
′
(
x
)
=
h
(
x
)
g
′
(
x
)
+
g
(
x
)
h
′
(
x
)
{\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial g}}g'(x)+{\frac {\partial f}{\partial h}}h'(x)=h(x)g'(x)+g(x)h'(x)}
Malkovro de ĉi tiu regulo estas kreditita al Gottfried Wilhelm Leibniz , kiu monris ĝian verecon jene.
Estu f(x) kaj g(x) du diferencialeblaj funkcioj de x . La diferencialo de fg estas
d(fg) = (f + df)(g + dg) - fg = f·dg + g·df + df·dg Pro tio ke la termo df·dg estas malatentebla (ĉar ĝi estas kvadrate malgranda respektive al df kaj dg , Leibniz konkludis ke
d(fg) = f·dg + g·df kaj ĉi tio estas diferenciala formo de la produta regulo. Se dividi la esprimon per diferencialo dx rezultas
d
(
f
g
)
d
x
=
f
d
g
d
x
+
g
d
f
d
x
{\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}=f{\frac {dg}{dx}}+g{\frac {df}{dx}}}
Derivaĵoj de produtoj de vektoraj funkcioj [ redakti | redakti fonton ] La regulo veras ankaŭ por skalara produto kaj vektora produto de du vektoro -valoraj funkcioj de skalara variablo.
Estu f (x) kaj g (x) ĉi tiaj funkcioj de skalaro x .
Tiam por derivaĵo de ilia skalara produto estas formulo
d
(
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
)
d
x
=
f
(
x
)
⋅
d
g
(
x
)
d
x
+
g
(
x
)
⋅
d
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {d(\mathbf {f} (x)\cdot \mathbf {g} (x)) \over dx}=\mathbf {f} (x)\cdot {d\mathbf {g} (x) \over dx}+\mathbf {g} (x)\cdot {d\mathbf {f} (x) \over dx}}
Por derivaĵo de ilia vektora produto estas formulo
d
(
f
(
x
)
×
g
(
x
)
)
d
x
=
f
(
x
)
×
d
g
(
x
)
d
x
+
d
f
(
x
)
d
x
×
g
(
x
)
{\displaystyle {d(\mathbf {f} (x)\times \mathbf {g} (x)) \over dx}=\mathbf {f} (x)\times {d\mathbf {g} (x) \over dx}+{d\mathbf {f} (x) \over dx}\times \mathbf {g} (x)}
kie la ordo de multiplikatoj en ĉiu vektora produto gravas.
Derivaĵo de produto de matricaj funkcioj [ redakti | redakti fonton ] La regulo veras ankaŭ por matrica produto kaj vektora produto de du matrico -valoraj funkcioj de skalara variablo.
Estu A(x) kaj B(x) ĉi tiaj funkcioj de skalaro x , de tiaj ampleksoj ke ilia matrica produto A(x)B(x) ekzistas.
Tiam por derivaĵo de ilia matrica produto estas formulo
d
(
A
(
x
)
B
(
x
)
)
d
x
=
A
(
x
)
d
B
(
x
)
d
x
+
d
A
(
x
)
d
x
B
(
x
)
{\displaystyle {d(A(x)B(x)) \over dx}=A(x){dB(x) \over dx}+{dA(x) \over dx}B(x)}
kie la ordo de multiplikatoj en ĉiu produto gravas.
Derivaĵo de produto de pli ol du funkcioj [ redakti | redakti fonton ] La produta regulo povas esti ĝeneraligita al produto de pli ol du faktoroj.
Por kolekto de funkcioj f1 (x), ..., fk (x) de variablo x :
d
∏
i
=
1
k
f
i
(
x
)
d
x
=
∑
i
=
1
k
(
d
f
i
(
x
)
d
x
∏
j
≠
i
f
j
(
x
)
)
{\displaystyle {\frac {d\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)}{dx}}=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {df_{i}(x)}{dx}}\prod _{j\neq i}f_{j}(x)\right)}
Ekzemple, por tri faktoroj:
d
(
u
v
w
)
d
x
=
d
u
d
x
v
w
+
u
d
v
d
x
w
+
u
v
d
w
d
x
{\displaystyle {\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}}
Ĉi tio veras ankaŭ por matrico-valoraj funkcioj, sed tiam ordo de multiplikatoj en la produtoj devas esti ĉiam tia kia ĝi estas en la fonta produto. Por kolekto de matrico-valoraj funkcioj A1 (x), ..., Ak (x) de variablo x , de ampleksoj tiaj ke ilia produto ekzistas. Taim
d
∏
i
=
1
k
A
i
(
x
)
d
x
=
∑
i
=
1
k
(
(
∏
j
=
1
i
−
1
A
j
(
x
)
)
d
A
i
(
x
)
d
x
(
∏
j
=
i
+
1
k
A
j
(
x
)
)
)
{\displaystyle {\frac {d\prod _{i=1}^{k}A_{i}(x)}{dx}}=\sum _{i=1}^{k}\left(\left(\prod _{j=1}^{i-1}A_{j}(x)\right){\frac {dA_{i}(x)}{dx}}\left(\prod _{j=i+1}^{k}A_{j}(x)\right)\right)}
Ekzemple, por tri faktoroj:
d
(
A
B
C
)
d
x
=
d
A
d
x
B
C
+
A
d
B
d
x
C
+
A
B
d
C
d
x
{\displaystyle {\frac {d(ABC)}{dx}}={\frac {dA}{dx}}BC+A{\frac {dB}{dx}}C+AB{\frac {dC}{dx}}}
La produta regulo povas esti ĝeneraligita al pli altaj derivaĵoj de produto de du funkcioj f(x) kaj g(x) de variablo x :
d
n
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
d
x
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
⋅
d
n
−
k
f
(
x
)
d
x
n
−
k
⋅
d
k
g
(
x
)
d
x
k
{\displaystyle {d^{n}(f(x)g(x)) \over dx^{n}}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot {d^{n-k}f(x) \over dx^{n-k}}\cdot {d^{k}g(x) \over dx^{k}}}
kie
(
n
k
)
{\displaystyle {n \choose k}}
binomaj koeficientoj . La formulo aspekte similas al la binomo de Newton .
Ekzemple por n=2 :
d
2
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
d
x
2
=
f
(
x
)
⋅
d
2
g
(
x
)
d
x
2
+
2
⋅
d
f
(
x
)
d
x
⋅
d
g
(
x
)
d
x
+
d
2
f
(
x
)
d
x
2
⋅
g
(
x
)
{\displaystyle {d^{2}(f(x)g(x)) \over dx^{2}}=f(x)\cdot {d^{2}g(x) \over dx^{2}}+2\cdot {df(x) \over dx}\cdot {dg(x) \over dx}+{d^{2}f(x) \over dx^{2}}\cdot g(x)}
Ĉi tio veras ankaŭ por matrico-valoraj funkcioj, tiam la ordo de multiplikatoj en ĉiu produto gravas.
Por miksita parta derivaĵo de n -a ordo de produto de du funkcioj f(x1 , ..., xn ) kaj g(x1 , ..., xn ) je x1 , ..., xn estas formulo
∂
n
(
f
g
)
∂
x
1
⋯
∂
x
n
=
∑
S
∂
|
S
|
f
∏
i
∈
S
∂
x
i
⋅
∂
n
−
|
S
|
g
∏
i
∉
S
∂
x
i
{\displaystyle {\partial ^{n}(fg) \over \partial x_{1}\,\cdots \,\partial x_{n}}=\sum _{S}{\partial ^{|S|}f \over \prod _{i\in S}\partial x_{i}}\cdot {\partial ^{n-|S|}g \over \prod _{i\not \in S}\partial x_{i}}}
kie la indekso S trapasas ĉiujn 2n variantojn de subaro de aro {1, ..., n} .
Ekzemple por n=3 :
∂
3
(
f
g
)
∂
x
1
∂
x
2
∂
x
3
=
{\displaystyle {\partial ^{3}(fg) \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}=}
=
f
⋅
∂
3
g
∂
x
1
∂
x
2
∂
x
3
+
∂
f
∂
x
1
⋅
∂
2
g
∂
x
2
∂
x
3
+
∂
f
∂
x
2
⋅
∂
2
g
∂
x
1
∂
x
3
+
∂
f
∂
x
3
⋅
∂
2
g
∂
x
1
∂
x
2
+
{\displaystyle =f\cdot {\partial ^{3}g \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial f \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}g \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial f \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}g \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial f \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}g \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}+}
+
∂
2
f
∂
x
1
∂
x
2
⋅
∂
g
∂
x
3
+
∂
2
f
∂
x
1
∂
x
3
⋅
∂
g
∂
x
2
+
∂
2
f
∂
x
2
∂
x
3
⋅
∂
g
∂
x
1
+
∂
3
f
∂
x
1
∂
x
2
∂
x
3
⋅
g
{\displaystyle +{\partial ^{2}f \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\cdot {\partial g \over \partial x_{3}}+{\partial ^{2}f \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial g \over \partial x_{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial g \over \partial x_{1}}+{\partial ^{3}f \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot g}
Ĉi tio veras ankaŭ por matrico-valoraj funkcioj, tiam la ordo de multiplikatoj en ĉiu produto gravas.
