Diferenciala ekvacio

En matematiko, diferenciala ekvacio estas ekvacio en kiu derivaĵoj de nekonataj funkcioj aperas kiel variabloj. Multaj de la fundamentaj leĝoj de fiziko, kemio, biologio kaj ekonomio povas esti formulitaj kiel diferencialaj ekvacioj. Diversaj sciencaj kampoj ofte havas identajn diferencialajn ekvaciojn. En ĉi tiaj okazoj, la matematika teorio povas samspecigi sufiĉe diversajn sciencajn kampojn.

La ordo de diferenciala ekvacio estas ordo de la plej alta derivaĵo kiun ĝi enhavas. Ekzemple, diferenciala ekvacio de la 1-a ordo enhavas nur unuajn derivaĵojn.

Specoj de diferencialaj ekvacioj

• Ordinara diferenciala ekvacio ODE nur enhavas funkciojn de unu sendependa variablo, kaj derivaĵoj de ĉi tiu variablo.
• Diferenciala ekvacio en partaj derivaĵoj PDE enhavas funkciojn de multaj sendependaj variabloj kaj iliaj partaj derivaĵoj.
• Malfrua diferenciala ekvacio DDE enhavas funkciojn de unu sendependa variablo, kaj derivaĵoj de la funkcioj estas en la ekvacio kune kun valoroj de la funkcioj rezultantaj de la aliaj (antaŭaj) valoroj de la sendependa variablo. (la termino "malfrua" estas pro tio ke la sendependa variablo ofte estas tempo).
• Stokasta diferenciala ekvacio SDE estas diferenciala ekvacio en kiu unu aŭ kelkaj variabloj estas stokastikaj, tial la rezultanta solvaĵo estas mem stokastiko.

Diferencialaj ekvacioj de ĉiu el ĉi tiuj kategorioj estas disdividita en linearajn kaj nelinearajn. Diferenciala ekvacio estas lineara se ĝi enhavas la nekonatan funkcion kaj ĝiajn derivaĵojn nur en la unua potenco; alie la diferenciala ekvacio estas nelineara. Ekzemplo (ĉi tie u' (t) estas derivaĵo de u(t) je la sendependa variablo t ): ekvacio

u' (t) = u(t)

estas lineara. Kaj ekvacioj

u' (t)= (u (t))²

(u' (t))² = u (t)

estas nelinearaj.

Linearaj ekvacioj ofte aperas kiel proksimumaĵoj al nelinearaj ekvacioj, kaj ĉi tiuj proksimumaĵoj estas nur validaj je limigitaj kondiĉoj.

Sistemoj de diferencialaj ekvacioj

Sistemo de diferencialaj ekvacioj estas aro de diferencialaj ekvacioj konsiderataj kune, kaj kvanto de la nekonataj funkcioj normale egalas al kvanto de la ekvacioj.

La ordo de sistemo de diferencialaj ekvacioj estas sumo de ordoj de la apartaj ekvacioj.

Ĉiu diferenciala ekvacio aŭ sistemo de diferencialaj ekvacioj de ordo n povas esti reformigita en sistemon de n diferencialaj ekvacioj, ĉiu el ili de ordo 1. Por ĉi tio necesas enkonduki aldonajn funkciojn, egalajn al derivaĵoj de la jam ekzistantaj nekonataj funkcioj. Ekzemplo (ĉi tie u' (t) estas derivaĵo de u(t) je la sendependa variablo t ):

Estu diferenciala ekvacio kun nekonata funkcio u(t) de la 3-a ordo

u' ' ' (t) + u' ' (t) + u(t) = 1 + t

Estu novaj nekonataj funkcioj:

v(t) = u' (t)

w(t) = v' (t)

kaj la difinoj supre fakte estas diferencialaj ekvacioj, ĉiu de la 1-a ordo. Tiam la ekvacio povas esti reskribita en formo

w' (t) + v' (t) + u(t) = 1 + t

kiu estas ekvacio de la 1-a ordo. Kaj kune kun la supraj difinoj por v(t) kaj w(t) ĝi formas sistemon el 3 ekvacioj de la 1-a ordo.

Linearaj homogenaj diferencialaj ekvacioj

Lineara homogena diferenciala ekvacio estas ekvacio en kiu aŭ la nekonata funkcio aŭ ĝuste unu el ĝiaj derivaĵoj estas en ĉiu adiciaĵo en la ambaŭ flankoj. Ekzemple ekvacio

u' (t) = u(t)

estas lineara homogena. Ekvacio

u' (t) = u(t) + 1

estas lineara sed ne homogena, ĉar en adiciaĵo 1 estas nek la funkcio nek ĝia derivaĵo.

Se estas kelkaj solvaĵoj de la lineara homogena ekvacio do ĉiu lineara kombinaĵo de la solvaĵoj ankaŭ estas la solvaĵo. Ĝenerala solvaĵo de lineara homogena ekvacio estas lineara kombinaĵo kun ĉiuj koeficientoj de kelkaj bazaj solvaĵoj. La solvaĵoj formas vektorspacon de iu dimensio, la dimensio povas esti kaj finia kaj malfinia.

Normale lineara homogena ordinara diferenciala ekvacio havas dimension de la spaco de solvaĵoj egalan al ordo de la ekvacio. Sistemo de ĉi tiaj ekvacioj havas dimension de la spaco de solvaĵoj egalan al sumo de ordoj de la ekvacioj.

Normale lineara homogena diferenciala ekvacio en partaj derivaĵoj kaj lineara homogena malfrua diferenciala ekvacio havas malfinian dimension de la spaco de solvaĵoj.

Famaj diferencialaj ekvacioj

• Ekvacioj de Maxwell en elektromagnetismo
• Ejnŝtejna kampa ekvacio en fizika relativeco
• Ekvacio de Schrödinger en kvantummeĥaniko
• Varma ekvacio en varmodinamiko
• Onda ekvacio
• Geodezia ekvacio
• Laplaca ekvacio, kiu difinas harmonajn funkciojn
• Koŝio-rimanaj ekvacioj en kompleksa analitiko
• Ekvacio de Poisson
• Ekvacioj de Navier-Stokes en fluidaĵ-dinamiko
• Ekvacio de Lotka-Volterra en loĝantara dinamiko
• Ekvacio de Black-Scholes en financoj

Vidu ankaŭ

• Lineara sistemo (aŭtomata regado)
• Teoremo de Picard–Lindelöf pri ekzisto kaj unikeco de solvaĵoj
• Otton Nikodym