Diferenciala operatoro

Diferenciala operatoro estas lineara operatoro, kiu konsistas el (partaj) derivoj kun koeficientoj.

Difino

Se $M$ estas glata sternaĵo, kaj $E$ kaj $F$ estas glataj vektoraj faskoj sur ĝi, do diferenciala operatoro de grado $k$ de sekcioj de $E$ al sekcioj de $F$ estas operatoro de la jena formo:

$D\colon \Gamma (E)\to \Gamma (F)$

$D=T_{0}+T_{1}^{\mu }\partial _{\mu }+T_{2}^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }+\dotsb +T_{k}^{\mu _{1}\mu _{2}\dotso \mu _{k}}\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\dotsm \partial _{\mu _{k}}$

La koeficiencoj $T_{0}$ estas sekcioj de la jenaj vektoraj faskoj:

$T_{0}\in \Gamma (E^{*}\otimes F)$

$T_{1}\in \Gamma (E^{*}\otimes \mathrm {T} M\otimes F)$

$T_{2}\in \Gamma (E^{*}\otimes \mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M\otimes F)$

$\vdots$

$T_{k}\in \Gamma (E^{*}\otimes (\mathrm {T} M)^{\otimes k}\otimes F)$

Ĉi-supre, $\mathrm {T} M$ estas la tanĝa fasko de la glata sternaĵo $M$. La tanĝaj indicoj de $T_{i}^{\mu _{1}\dotso \mu _{i}}$ estas simetriaj.

La ĉi-supra esprimo dependas de la koordinatsistemo uzata sur la sternaĵo. Tamen, ŝanĝo de la koordinatsistemo ne ŝanĝas la ĝeneralan formon de la ĉi-supra esprimo, nek la grado.

Ekzemploj

Lineara konekto en vektora fasko difinas la kunvariantan derivon:

$\nabla \colon \Gamma (E)\to \Gamma (E\otimes \mathrm {T} ^{*}M)$

$\nabla _{\mu }s^{a}=\partial _{\mu }s^{a}+\Gamma _{\mu b}^{a}s^{b}$

Ĝi estas diferenciala operatoro de grado 1.

La laplaca operatoro estas ekzemplo de diferenciala operatoro de grado 2. Sur rimana sternaĵo $(g,M)$, la laplaca operatoro sur funkcioj estas la jeno:

$\Delta \colon {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )\to {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )$

$\Delta f=g^{ij}\partial _{i}\partial _{j}f+g^{ij}\Gamma _{ij}^{k}\partial _{k}f$

En plata spaco, la simbolo de Christoffel $\Gamma _{ij}^{k}$ estas nul.

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Differential operator en MathWorld.