Diferencialo

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Temas pri... Ĉi tiu artikolo temas pri Diferencialo (matematiko). Por aliaj signifoj vidu la paĝon diferencialo (mekaniko).

En matematiko, la diferencialo de reela aŭ multvariabla funkcio estas mezuro de la funkcia kresko aŭ vario. Penso pri diferencialoj estas natura sekvo de studo de derivaĵoj. Ĉiu diferencialo estas konstruata sur iu funckio, sed ankaŭ en iu punkto. Tiel, diferencialo dependas el funkcio f kaj punkto a en sia fontaro. Iom plej precize, la diferencialo informas pri la kresko de f ĉirkaŭ a: se x estas ĉe a, la diferenco inter f(x) kaj f(a) kaj la diferenco x-a estas en iu proporcio, kiun la diferencialo de f mezuras. La kvalito de tiu proporcio pligrandas se x pliproksimias al a. Se f estas kontinua en a, f(x)-f(a) estas malgranda se x-a estas sufiĉe malgranda. La diferencialo mezuras kiom malgranda ĝi estas.

Kiam f havas pli ol unu argumenton, la diferenco f(x)-f(a) ne dependas nur de la absoluta valoro |x-a|, sed ankaŭ de ĝia direkto. Simplaekzemple, la duargumenta funkcio f(x,y)=x ne sanĝas se y ŝangas, sed f(x,0)-f(0,0)=x. Tio montras ke, en la punkto (0,0), f iusence havas derivaĵon \frac{x}{x}=1. La diferencialo de f indikas tiun sintenon, montrante ekzemple la direkton en kiu f kreskas plej rapide.

Laŭ la matematika sperto, por studi funkcioj loke (t.e., ĉirkaŭ iu punkto), estas utile kompari ĝin kun linearaj funkcioj (kaj por fari tion lineara algebro multe gravas). La funkcioj T(x_1,...x_n)=c_1x_1+...+c_nx_n, kvankam simplaj, ŝanĝas malegale en diferencaj direktoj. Do, ili povas modeli la kreskon de diversaj funkcioj. Se la nombrojn c_1,...c_n oni imagas kiel variablojn, malfiniaj linearaj funkcioj imagiĝas, kaj unu el ili povas esti tia, ke f(x)-f(a) estas proksimume T(x-a), se oni rigardas nur xjn proksimajn al a. Alia esprimebleco por tio estas diri ke f(x)-f(a)-T(x-a) = f(x_1,...x_n)-f(a)-(c_1(x_1-a_1)+...+c_n(x_n-a_n)) povas esti malgranda eraro, se oni elektas korektajn c_1,...c_n.

Geometrie, linearaj funkcioj havas ebenojn kiel grafikoj (almenaŭ se la domajno estas dudimensia). Se f(x)-f(a) estas preskaŭ lineara, la grafiko de f estas preskaŭ la grafikebeno. Tio harmonias kun la intuicio ke, en grafikoj de dudimensiaj funkcioj, oni povas imagi ebenojn tanĝantajn al la grafiksfurfaco.

Sed ne ĉiuj funkcioj havas diferencialon, kaj estas funkcioj, kiuj havas diferencialojn nur en kelkaj punktoj. La funkcioj, kiuj havas, nomiĝas diferencialeblaj (en a). Se f estas diferencialebla en ĉiu punkto a de sia domajno, oni nomas ĝin "ĉiupunkte diferenciabla", "ĉie diferenciabla" aŭ simile.

Per derivaĵoj oni povas, laŭ la metodoj de la diferenciala kalkulo kaj matematika analitiko, kalkuli kaj plikompreni la inklinon de funkcia grafiko en iu punkto, tanĝantojn al kurbojn, aŭ en fiziko momentan rapidecon. Per la diferencialoj oni povas plue studi grafikojn de duargumentaj funkcioj aŭ diferencialan geometrion.

La formulo por la diferencialo de la funkcio  y =f(x) ĉe  x_0 estas  \mathrm {d} y =f' (x_0) \cdot \mathrm{d} x.

Tial la derivaĵo f'(x) ankaŭ povas esti skribita kiel tuteca derivaĵo \frac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x}.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]