Duargumenta rilato

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En matematiko, duargumenta rilato2-argumenta rilatoduloka rilato2-loka rilato estas ajna asocio de du eroj de aro, aŭ de ero de unu aro kun ero de la alia aro.

Duargumenta rilato estas speciala okazo n-opa rilato kun n=2.

Ekzemploj[redakti | redakti fonton]

Du gravaj klasoj de duargumentaj rilatoj estas ekvivalentrilatoj kaj ordoj, vidu sube pli detale.

Ekzemploj de duargumentaj rilatoj:

Duargumentaj rilatoj estas ankaŭ uzata en komputiko, aparte en la rilata modelo por datumbazoj.

Difino[redakti | redakti fonton]

Duargumenta rilato R estas kutime difinita kiel ordigita triopo (X, Y, G) kie X kaj Y estas ajnaj aroj (aŭ klasoj), kaj G estas subaro de la cilindro (algebro) X × Y. La aroj X kaj Y estas la fonto-aro (domajno) kaj celo-aro respektive, de la rilato, kaj G estas la grafikaĵo.

Se x ∈ X kaj y ∈ Y, frazo (x, y) ∈ R signifas ke x estas R'-rilatanta al y, kaj estas skribata kiel xRyR(x, y). La lasta skribmaniero respektivas al konsidero de R kiel la nadla funkcio (karakteriza funkcio) de la aro de paroj G.

La ordo de la eroj en ĉiu paro de G povas esti grava, se a ≠ b, do ĉiu el aRb kaj bRa povas esti vera aŭ malvera, ĝenerale sendepende unu de la alia.

Laŭ la difino pli supre, du rilatoj kun la sama grafikaĵo povas diferenci, se ili diferenci en la aroj X kaj Y. Ekzemple, se G = {(4, 8), (2, 2), (9, 1)}, do (Z,Z, G), (R, Z, G), (Z, R, G), (R, R, G) estas malsamaj rilatoj.

Iam oni ne konsideras la arojn X kaj Y kiel partoj de la rilato, kaj pro tio difinas duargumentan rilaton kiel nur G. Laŭ ĉi tiu varianto de la difino, la aro de paroj {(4, 8), (2, 2), (9, 1)} estas rilato de ĉiu paro de aroj, tia ke la unua enhavas erojn 2, 4, 9 kaj la dua enhavas erojn 1, 2, 8.

En iuj sistemoj de aksioma aroteorio, rilatoj estas etenditaj al klasoj, kiu estas ĝeneraligoj de aroj. Ĉi tiu vastigaĵo estas bezonata por, interalie, modeligo de konceptoj de "estas ero de" aŭ "estas subaro de" en aroteorio.

La koncepto de funkcio estas difinita kiel speciala speco de duargumenta rilato. Tamen, en sia vico, rilato povas esti konsiderata kiel du-argumenta funkcio, valoro de kiu estas "malvero" aŭ "vero".

Specoj de duargumentaj rilatoj[redakti | redakti fonton]

Iuj klasoj de duargumentaj rilatoj R super X kaj Y estas:

Nomo Difino
Maldekstre-tuteca Por ĉiuj x en X ekzistas y en Y tia ke xRy (ĉi tiu propraĵo, kvankam estas ankaŭ iam nomata kiel tuteca, estas malsama de la difino de tuteca en la sekva sekcio).
Surĵeto dekstre-tuteca Por ĉiuj y en Y ekzistas x en X tia ke xRy.
Funkcia rilato dekstre-difinita aŭ iea funkcio Por ĉiuj x en X, y en Y kaj z en Y, se xRy kaj xRz do y=z.
Enĵeto disĵeta enjekcia Por ĉiuj x en X, z en X kaj y en Y, se xRy kaj zRy do x=z.
Funkcio Ĝi estas ambaŭ maldekstre-tuteca rilato kaj funkcia rilato.
Ensurĵeto dissurĵeta bijekcia Ĝi estas ĉiu el maldekstre-tuteca rilato, dekstra-tuteca rilato, funkcia rilato kaj enĵeto.

Duargumentaj rilatoj super unu aro[redakti | redakti fonton]

Se X=Y do la duargumenta rilato estas super X.

Iuj klasoj de duargumentaj rilatoj R super unu aro X estas:

Nomo Difino Ekzemplo
Refleksiva rilato Por ĉiu x en X, veras xRx. "pli granda ol aŭ egala al" estas refleksiva rilato sed "pli granda ol" ne estas refleksiva rilato.
Malrefleksiva rilato Por ĉiu x en X, veras ne xRx. "pli granda ol" estas ekzemplo de malrefleksiva rilato.
Kunrefleksiva rilato Por ĉiuj x kaj y en X, se xRy do x=y.
Simetria rilato Por ĉiuj x kaj y en X, se xRy do yRx. "same racionala aŭ malracionala" estas simetria rilato, ĉar se x estas same racionala aŭ malracionala kiel y se kaj nur se y estas same racionala aŭ malracionala kiel x.
Malsimetria rilato Por ĉiuj x kaj y en X, se xRy kaj yRx do x=y. "pli granda ol aŭ egala al" estas malsimetria rilato, ĉar se x≥y kaj y≥x, do x=y.
Kontraŭsimetria rilato Por ĉiuj x kaj y en X, se xRy do ne yRx. "pli granda ol" estas kontraŭsimetria rilato, ĉar se x>y do ne y>x.
Trivarianta rilato Por ĉiuj x kaj y en X, veras akurate unu el xRy, yRx, x=y. "pli granda ol" estas ekzemplo de trivarianta rilato.
Transitiva rilato Por ĉiuj x, y kaj z en X, se xRy kaj yRz do xRz. "pli granda ol" estas transitiva rilato, ĉar se x>y kaj y>z do x>z.
Tuteca rilato lineara rilato Por ĉiuj x kaj y en X, veras xRyyRx (aŭ ambaŭ) (ĉi tiu difino por tuteca estas malsama de la maldekstre-tuteca kaj dekstre-tuteca de la antaŭa sekcio). "pli granda ol aŭ egala al" estas ekzemplo de tuteca rilato.
Etendebla rilato seriaĵo Por ĉiuj x en X, ekzistas y en X tia ke xRy. "pli granda ol" estas etendebla rilato sur la entjeroj. Sed ĝi estas ne etendebla rilato sur la pozitivaj entjeroj, ĉar ne ekzistas y en la aro de pozitivaj entjeroj tia ke 1>y.
Eŭklida rilato Por ĉiuj x, y kaj z en X, se xRy kaj xRz, do yRz.
Aroeca rilato Por ĉiu x en X, la klaso de ĉiuj y tiaj ke yRx estas aro. Ĉi tio havas sencon nur se permesi rilatojn sur pozitivaj klasoj. La kutima ordigo < sur la klaso de numeroj estas aroeca, sed ĝia inverso <-1 ne estas aroeca.

Rilato kiu estas refleksiva, simetria kaj transitiva estas ekvivalentrilato. Rilato kiu estas refleksiva, malsimetria kaj transitiva estas parta ordo. Parta ordo kiu estas tuteca estas tuteca ordolineara ordo aŭ ĉeno. Lineara ordo en kiu ĉiu nemalplena aro havas plej malgrandan eron estas bona ordo.

Rilato kiu estas simetria, transitiva kaj etendebla estas ankaŭ refleksiva.

Operacioj je duargumentaj rilatoj[redakti | redakti fonton]

Se R estas duargumenta rilato super X kaj Y, do

Nomo Difino Ekzemplo
Inversa rilato R-1 (x, y) ∈ R }. "malpli granda ol aŭ egala al" estas inverso de "pli granda ol aŭ egala al", ĉar a≤b se kaj nur se b≥a.
Komplemento RC xRCy se kaj nur se ne xRy. a<b estas komplemento de a≥b.

Komplemento de komplemento estas la fonta rilato, (RC)C=R. Ankaŭ inverso de inverso estas la fonta rilato, (R-1)-1=R.

Duargumenta rilato super unu aro estas egala al sia inverso se kaj nur se ĝi estas simetria.

Komplemento de la inverso estas inverso de la komplemento, (R-1)C=(RC)-1.

Se X=Y la komplemento havas propraĵojn:

  • Se rilato estas simetria, la komplemento estas simetria.
  • La komplemento de refleksiva rilato estas malrefleksiva rilato. La komplemento de malrefleksiva rilato estas refleksiva rilato.
  • La komplemento de severe malforta ordo estas tuteca antaŭordigo. La komplemento de tuteca antaŭordigo estas severe malforta ordo.

Se R estas duargumenta rilato super X do estas duargumentaj rilatoj super X:

Nomo Difino Ekzemplo
Refleksiva fermaĵo R= x ∈ X} ∪ R, aŭ la plej malgranda refleksiva rilato super X enhavanta na R. Ĝi estas komunaĵo de ĉiuj refleksivaj rilatoj enhavantaj na R. "pli granda ol aŭ egala al" estas refleksiva fermaĵo de "pli granda ol".
Refleksiva malpligrandiĝo R x ∈ X} aŭ la plej granda nerefleksiva rilato super X enhavata en R. "pli granda ol" estas refleksiva malpligrandiĝo de "pli granda ol aŭ egala al".
Transitiva fermaĵo R+ La plej malgranda transitiva rilato super X enhavanta na R. Ĝi estas komunaĵo de ĉiuj transitivaj rilatoj enhavanta na R.
Transitiva malpligrandiĝo R- La plej malgranda rilato havanta la saman transitivan fermaĵon kiel R.
Transitiva-refleksiva fermaĵo R* R* = (R+)=.

Se R, S estas duargumentaj rilatoj super X kaj Y do estas duargumentaj rilatoj:

Nomo Difino Ekzemplo
Unio R ∪ S ⊆ X × Y (x, y) ∈ R (x, y) ∈ S} a≠b estas unio de ab
Komunaĵo R ∩ S ⊆ X × Y (x, y) ∈ R kaj (x, y) ∈ S } a=b estas unio de a≤b kaj a≥b

Se R estas duargumenta rilato super X kaj Y, kaj S estas duargumenta rilato super Y kaj Z, do estas duargumenta rilato super X kaj Z:

Komponaĵo de rilatoj S o R (ankaŭ iam skribata kiel R o S), difinita kiel S o R = { (x, z) | ekzistas y ∈ Y, tia ke (x, y) ∈ R kaj (y, z) ∈ S }. La ordo de R kaj S en la skribmaniero S o R uzata ĉi tie kongruas kun la ordo en kutima skribmaniero por komponaĵo de funkcioj.

Limigo[redakti | redakti fonton]

La limigo de duargumenta rilato sur aro X al subaro S estas la aro de ĉiuj paroj (x, y) en la rilato por kiu ambaŭ x kaj y estas en S.

Se rilato estas refleksiva rilato, malrefleksiva rilato, simetria rilato, malsimetria rilato, kontraŭsimetria rilato, transitiva rilato, tuteca rilato, trivarianta rilato, parta ordo, tuteca ordo, severe malforta ordo, tuteca antaŭordigo, malforta ordo, aŭ ekvivalentrilato, ĝiaj limigoj estas (ankaŭ, tro).

Tamen, la transitiva fermo de limigo estas subaro de la limigo de la transita fermo, kiu estas ĝenerale ne la samo.

Ankaŭ, konceptoj de pleneco ne konserviĝas je la limigo. Ekzemple, sur la aro de reela nombra propraĵo de la rilato "malpli granda ol aŭ egala al" estas ke ĉiu nemalplena subaro Q de R kun supera baro en R havas precizan supran randon en R. Tamen, se la subaro S estas aro de racionalaj nombroj, ĉi tiu preciza supra rando ne nepre estas en S (ne nepre estas racionala nombro), tiel la propraĵo ne veras.

Kvanto de duargumentaj rilatoj[redakti | redakti fonton]

Kvanto de malsamaj duargumentaj rilatoj sur n-era aro estas 2n2.

Kvanto de rilatoj
n Ĉiuj Transitivaj Refleksivaj Antaŭordigoj Partaj ordoj Tutecaj antaŭordigoj Tutecaj ordoj Ekvivalentrilatoj
0 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 2 1 1 1 1 1 1
2 16 13 4 4 3 3 2 2
3 512 171 64 29 19 13 6 5
4 65536 3994 4096 355 219 75 24 15
  • Kvanto de malsamaj refleksivaj rilatoj estas la sama kiel tiu de malrefleksivaj rilatoj.
  • Kvanto de malsamaj ekvivalentrilatoj estas la kvanto de dispartigoj, kiu estas la sonorila nombro.
  • Kvanto de malsamaj severe partaj ordoj estas la sama kiel tiu de partaj ordoj
  • Kvanto de malsamaj severe malfortaj ordoj estas la sama kiel tiu de tutecaj antaŭordigoj
  • La tutecaj ordoj estas la partaj ordoj kiu estas ankaŭ tutecaj antaŭordigoj. Kvanto de malsamaj antaŭordigoj kiuj estas nek partaj ordoj nek tutecaj antaŭordigoj estas pro tio la kvanto de antaŭordigoj minus la kvanto de partaj ordoj minus la kvanto de tutecaj antaŭordigoj plus la kvanto de tutecaj ordoj: 0, 0, 0, 3, kaj 85, respektive.

La duargumentaj rilatoj povas esti grupitaj en parojn - fonta rilato, komplemento, escepti de okazo kun n=0, ĉe kiu la rilato estas sia komplemento. La nesimetriaj rilatoj povas esti grupitaj en kvaropojn - fonta rilato, komplemento, inverso, komplemento de inverso.

Pozitivaj klasoj[redakti | redakti fonton]

Certa rilatoj, ekzemple "egala al", "membro de", kaj "subaro de", ne povas esti komprenitaj kiel duargumentaj rilatoj kiel estas difinita pli supre, ĉar iliaj domajnoj kaj celo-aroj ne povas esti konsiderataj kiel aroj en la kutimaj sistemoj de aksioma aroteorio.

Por ĝenerala koncepto de egaleco kiel duargumenta rilato, oni devas preni ke la domajno kaj la celo-aro estu aro de ĉiuj aroj, kiu ne ekzistas en la kutima aroteorio. La kutima maniero de ĉirkaŭirado de la problemo estas preni sufiĉe grandan aron A, kiu enhavas ĉiujn objektojn de intereso, kaj labori kun la limigo de konsiderataj objektoj nur de A, tiel konsideri egalecon =A anstataŭ ĝenerala egaleco =.

Simile, domajno kaj celo-aro de rilato "subaro de" \subseteq devas esti limigita al P(A), aro de ĉiuj subaroj de specifa la aro A: la rezultanta ara rilato estas skribata kiel \subseteq_A.

Ĉe rilato "membro de" domajno estas limigata al A kaj celo-aro al P(A), tiel estas konsiderata rilato \in_A.

Alia solvaĵo al ĉi tiu problemo estas uzo de aroteorio kun pozitivaj klasoj, kiu permesas al la domajno kaj la celo-aro al esti pozitivaj klasoj. En ĉi tia teorio, egaleco, aneco, kaj subareco estas duargumentaj rilatoj sen specialaj komentoj. Tamen ŝanĝo devas esti farita en la koncepto de ordigita triopo (X, Y, G), ĉar normale pozitiva klaso ne povas esti membro de ordigita opo.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]

  • A002416 en OEIS - vico de kvantoj de malsamaj duargumentaj rilatoj