Egaleco (matematiko)
Ĉi tiu artikolo temas pri matematiko. Por aliaj signifoj vidu la artikolon socia egaleco.Egaleco estas ekzemplo de la pli ĝenerala koncepto de ekvivalentrilato sur aro.
Ekvacio estas simple aserto ke du esprimoj estas rilatantaj per egaleco.
Tamen la simbolo "=" estas iam uzata por la aliaj rilatoj. Ekzemple, la frazo S(x)=O(x3) signifas ke S(x) kreskas je la samo ordo kiel x3, kaj iuj ecoj de egaleco ĉi tie ne veras. Ĉi tio estas nerigora notacio, vidu pli detale en granda O.
Logikaj formulaĵoj
[redakti | redakti fonton]La egaleca rilato estas ĉiam difinata tiel, ke aĵoj kiuj estas egalaj havas precize samajn ecojn. Iuj difinas egalecon kiel kongruecon. Ofte egaleco estas difinata kiel idento.
Pli forta senco de la nocio egaleco rezultas, se oni alprenas kiel aksiomon iun formon de leĝo de Leibniz, aksiomo, laŭ kiu du aĵoj estas egalaj, tisn kaj nur tiam, kiam ili havas la samajn ecojn:
- Por ĉiuj donitaj x kaj y, x=y se, por ĉiu donita predikato P, P(x) se kaj nur se P(y).
En ĉi tiu leĝo, la ligilo "se kaj nur se" povas esti malfortigita al "se"; la modifita leĝo estas ekvivalenta al la originala.
Anstataŭ konsideri la leĝon de Leibniz kiel aksiomon, oni povas igi ĝin parto de la difino de egaleco. Tiam tio, ke egaleco estas ekvivalentrilato, kaj ankaŭ la ecoj prezentitaj ĉi-sube, estas pruveblaj: ili iĝas teoremoj.
Ecoj
[redakti | redakti fonton]La anstataŭiga eco:
- Por ĉiuj a kaj b kaj ĉiu esprimo F(x), se a=b, tiam F(a)=F(b) (se ĉiu flanko havas senson).
- Por ĉiu a, a=a.
- Por ĉiuj a kaj b, se a=b, tiam b=a.
- Por ĉiuj a, b, c, se a=b kaj b=c, tiam a=c.
Ekzemploj de anstataŭiga eco:
- Por ĉiuj reelaj nombroj a, b, c, se a=b, tiam a+c=b+c (ĉi tie F(x) estas x+c);
- Por ĉiuj reelaj nombroj a, b, c, se a=b, tiam a-c=b-c (ĉi tie F(x) estas x-c);
- Por ĉiuj reelaj nombroj a, b, c, se a=b, tiam ac=bc (ĉi tie F(x) estas xc);
- Por ĉiuj reelaj nombroj a, b, c, se a=b kaj c ne estas nulo, tiam a/c=b/c (ĉi tie F(x) estas x/c).
La duargumenta rilato estas proksimume egalaj inter reelaj nombroj aŭ aliaj aĵoj, eĉ se ĝi estas detale difinita, estas ĝenerale netransitiva, ĉar multaj malgrandaj diferencoj povas sumiĝi en ion grandan). Tamen egaleco preskaŭ ĉie estas transitiva.
Kvankam la simetria kaj transitiva ecoj estas ofte viditaj kiel fundamentaj, ili povas esti pruvitaj, se la anstataŭa kaj refleksiva ecoj estas alprenitaj aksiome.
Egaleco estas ankaŭ antisimetria rilato.