Ekvivalentklaso
En matematiko, por donita aro X kaj ekvivalentrilato ~ sur X, la ekvivalentoklaso de ero a en X estas la subaro de ĉiuj eroj en X kiuj estas ekvivalentaj al a:
![{\displaystyle [a]=\{x\in X|x\sim a\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70c416d96cf908bbef79dd43b4506abe910b4d64)
Tiam:
- a~b se kaj nur se [a] = [b].
La aro de ĉiuj ekvivalentklasoj en X por donita ekvivalentrilato ~ estas la kvocienta aro de X per ~ kaj kutime estas skribata kiel X/~.
Ĉi tiu operacio povas esti konsiderata neformale kiel la divido de la aro per la ekvivalentrilato kaj la rezulto estas ne interkovrantaj ekvivalentoklasoj. De ĉi tie estas la nomo "kvocienta aro" kaj la skribmaniero. Se rezultiĝas finia kvanto de ekvivalentklasoj ĉiuj de la sama amplekso, do amplekso de la kvocienta egalas al amplekso de X dividita je amplekso de ĉiu ekvivalentklaso.
Por ĉiu ekvivalentrilato, estas kanona projekcia mapo π de X al X/~ donita per π(x) = [x]. Ĉi tiu mapo estas ĉiam surĵeto. En okazoj se X havas iun aldonan strukturon, oni povas konsideri ekvivalentrilatojn kiuj konservas ĉi tiun strukturon. Tiam la strukturo estas bone-difinita, kaj la kvocienta aro heredas la strukturon kaj estas objekto de la sama kategorio en natura maniero. Vidu en kongrueca rilato.
Pli preciza skribmaniero [a]R povas esti uzata al priskribi je kiu rilato R estas la ekvivalentklaso.
Se ~ estas ekvivalentrilato sur X, kaj P(x) estas propraĵo de eroj de x, tia ke kiam x~y, P(x) estas vera se P(y) estas vera, tiam la propraĵo P estas bone-difinita aŭ klasa invarianto sub la rilato ~. Ofta speciala okazo okazas kiam f estas funkcio de X al alia aro Y; se x1 ~ x2 implicas ke f(x1) = f(x2) tiam f estas klasa invarianto sub ~, aŭ simple invarianto sub ~.
Ekzemploj
- Konsideru la modulan aritmetikon module n. Estu ekvivalentrilato sur la aro Z de entjeroj: x~y se kaj nur se x mod n = y mod n. Ĉi tiu rilato donas akurate n ekvivalentklasojn: [0] (nombroj kiuj dividiĝas je n), [1] (nombroj kiuj havas restaĵon 1 estante dividigataj je n), [2], [3], ... ,[n-1]. Ekvivalentklaso [n] estas la samo kiel [0] ĉar 0~n.
- La racionalaj nombroj povas esti konstruita kiel la aro de ekvivalentklasoj de ordigitaj duopoj, duopoj de entjeroj (a, b) kie b ne estas nulo, kun ekvivalentrilato (a, b) ~ (c, d) se kaj nur se ad=bc. La ekvivalentklaso de duopo (a, b) estas identigita kun racionala nombro a/b.
- Ĉiu funkcio f : X → Y difinas ekvivalentrilaton sur X piel x1 ~ x2 se kaj nur se f(x1) = f(x2). La ekvivalentklaso de x estas la aro [x] de eroj en X kiu estas la inversa bildo de f(x). Ĉi tiu ekvivalentrilato estas la kerno de funkcio de f.
- Se f(x)=x2, do por ĉiu x≠0 ekvivalentklaso de x estas aro [x]={x, -x} konsistanta el du eroj, kaj ekvivalentklaso de 0 estas aro [0]={0} konsistanta el unu ero.