Entjera elemento

En nombroteorio, entjera elemento estas ĝeneraligo de la koncepto de gaŭsaj entjeroj en la kampo de kompleksaj nombroj.

Difino

Supozu, ke $K$ estas komuta ringo kaj ke $R\subseteq K$ estas ĝia subringo. Elemento $x\in K$ estas entjera super $R$, se kaj nur se ekzistas identaĵo de la formo

$0=x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+r_{n-2}x^{n-2}+\dotsb +r_{1}x+r_{0}$.

Alivorte, $x$ kuŝas en la nulejo de normumita polinomo $p\in R[x]$.

La entjeraj elementoj formas subringon inter $R$ kaj $K$; tiu nomiĝas la entjera fermaĵo de la subringo $R$ en $K$.

Ekzemploj

Konsideru la korpon de racionalaj nombroj $\mathbb {Q}$. Super la subaro de entjeroj $\mathbb {Z} \subsetneq \mathbb {Q}$, la entjeraj elementoj estas la entjeroj. Alivorte, ne ekzistas netrivialaj entjeraj elementoj, krom tiuj en la subringo $\mathbb {Z}$ mem.

Konsideru la algebran nombrokorpon $\mathbb {Q} ({\sqrt {-1}})$. Super la subaro de entjeroj $\mathbb {Z}$, la entjeraj elementoj estas la gaŭsaj entjeroj

$a+b{\sqrt {-1}},\qquad (a,b\in \mathbb {Z} ).$

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Integral closure en MathWorld.