Faktorialo

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Grafikaĵo de logaritmo de faktorialo kontraŭ logaritmo de la argumento
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40320
9 362880
10 3 628 800
11 39 916 800
12 479 001 600
13 6 227 020 800
14 87 178 291 200
15 1 307 674 368 000
20 2 432 902 008 176 640 000
25 15 511 210 043 330 985 984 000 000
50 3,04140932... × 1064
70 1,19785717... × 10100
450 1,73336873... × 101000
3249 6,41233768... × 1010000
25206 1,205703438... × 10100000
47176 8,4485731495... × 10200001
100000 2,8242294079... × 10456573

En la matematiko, faktorialo de natura nombro n estas la produto de la pozitivaj entjeroj malpli aŭ egalaj al n. Oni signas ĝin per n!, kion oni prononcas no faktoriale.

Difino[redakti | redakti fonton]

Oni aldone difinas , ĉar ĝenerale la produto de neniuj faktoroj estas konsiderata 1.

Kombinatoriko[redakti | redakti fonton]

En kombinatoriko, faktorialo n! estas kvanto de permutoj de n eroj. Ekzemple:

Por 1 ero {A} estas 1!=1 permuto:
A
Por 2 eroj {A,B} estas 2!=2 permutoj:
AB   BA
Por 3 eroj {A,B,C} estas 3!=6 permutoj:
ABC   ACB   BAC   BCA   CAB   CBA
Por 4 eroj {A,B,C,D} estas 4!=24 permutoj:
ABCD   BACD   CABD   DABC
ABDC   BADC   CADB   DACB
ACBD   BCAD   CBAD   DBAC
ACDB   BCDA   CBDA   DBCA
ADBC   BDAC   CDAB   DCAB
ADCB   BDCA   CDBA   DCBA

Γ-funkcio[redakti | redakti fonton]

Γ-funkcio estas funkcio, difinita por ĉiuj reelajkompleksaj argumentoj krom nepozitivaj entjeroj (0, -1, -2, -3, ...). Ĝi estas vastigaĵo de faktorialo. Se n estas nenegativa entjero (0, 1, 2, 3, ...), do

Γ(n+1) = n!

Aŭ ekvivalente se n estas pozitiva entjero (1, 2, 3, 4, ...), do

Γ(n) = (n-1)!

Proksimuma kalkulado de Stirling[redakti | redakti fonton]

Proksimuma kalkulado de Stirling estas proksimuma formulo por faktoriala:

kie O estas granda O.

Pli simpla, malpli preciza sed iam uzebla estas formulo kun nur la unua membro de la proksimuma kalkulado de Stirling

Tiam estas limigoj por la faktorialo.

Duopa faktorialo[redakti | redakti fonton]

Duopa faktorialo estas:

Tiel:

n!!=n(n-2)(n-4)·...·6·4·2 se n estas para pozitiva;
n!!=n(n-2)(n-4)·...·5·3·1 se n estas nepara pozitiva;

Noto ke duopa faktorialo ne estas faktorialo de faktorialo, ĝenerale n!!≠(n!)!.

La difino povas esti etendita reen al la negativaj argumentoj ĉar

Tiel:

n!!=1/( (n+2)(n+4)·...·(-3)·(-1)·1 ) se n estas nepara negativa.

Per ĉi tia maniero duopa faktorialo ne estas difinita por para negativa argumento, tamen vidu sube pri ebleco difini per Γ funkcio.

Ekzemple, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384, 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945.

Valoroj de n!! por n=0, 1, 2, ... estas:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...

Valoroj de n!! por n=-1, -3, -5, ... estas:

Iuj formuloj kun duopa faktorialo:

kie Γ estas Γ funkcio. La lasta formulo povas esti konsiderata kiel difino de duopa faktorialo por ĉiuj kompleksaj n≠0.

Plurfaktorialo[redakti | redakti fonton]

Plurfaktorialo estas plua ĝeneraligo post la duopa faktorialo. Plurfaktorialo de la k-a ordo de n, aŭ alivorte la k-a plurfaktorialo de n, estas

Duopa faktorialo estas plurfaktorialo de la 2-a ordo.

Primofaktorialo[redakti | redakti fonton]

Primofaktorialo n# estas produto de ĉiuj primoj ne pli grandaj ol n. Ekzemple:

Se pn estas la n-a primo, do pn# estas produto de n la unuaj primoj:

La unuaj valoroj de pn# por n=1, 2, 3, ... estas:

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]