Formulo de Faà di Bruno

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En matematiko, formulo de Faà di Bruno estas idento ĝeneraliganta la ĉenan regulon al pli altaj derivaĵoj. Ĝi estas nomita pro Francesco Faà di Bruno (1825 - 1888).

Eble la plej konata formo de formulo de Faà di Bruno estas

kie la sumo estas tra ĉiuj n-opoj (m1, ..., mn) kontentigantaj kondiĉon

Iam, por doni ĝi plaĉantan kaj memoreblan ŝablonon, ĝi estas skribita tiel ke la koeficientoj kiuj havas la kombinan interpretadon diskutitan pli sube estas malpli eksplicitaj:

Kombinigo de la termoj kun la sama valoro de kondukas al alia iel pli simpla formulo esprimita per sonorilaj polinomoj :

Kombina formo[redakti | redakti fonton]

La formulo havas la kombinan formon:

kie

  • "B ∈ π" signifas ke la variablo B ruliĝas tra la listo de ĉiuj blokoj de la dispartigo π, kaj
  • |A| signifas kardinalon de la aro A, tiel |π| estas kvanto de la blokoj en la dispartigo π kaj |B| estas amplekso de la bloko B.

Ekzemplo[redakti | redakti fonton]

Jen estas ekzemplo de uzo de la kombina formo:

La ŝablono estas

La faktoro respektivas al la dispartigo 2+1+1 de la entjero 4 (4 ĉar estas trovata la 4-a derivaĵo), en la evidenta vojo. La faktoro kiu estas kun ĝi respektivas al tio ke estas 3 termoj en ĉi tiu dispartigo. La koeficiento 6 kiu estas kun ĉi tiuj faktoroj respektivas al tio ke estas akurate 6 dispartigoj de aro de 4 membroj kiuj disdividas ĝin en unu parton de amplekso 2 kaj du partojn de amplekso 1.

Simile, la faktoro en la tria linio respektivas al la dispartigo 2+2 de la entjero 4, dum respektivas al tio ke estas du termoj en la dispartigo. La koeficiento 3 respektivas al tio ke estas 3 manieroj de disdivido de 4 objektoj en grupojn po 2 (4C2 / 2).

La sama koncepto aplikas al la aliaj linioj.

Kombinatoriko de la koeficientoj de Faà di Bruno[redakti | redakti fonton]

Ĉi tiuj dispartigo-kalkulantaj koeficientoj havas fermito-forman esprimon. La kvanto de dispartigoj de aro de amplekso n respektiva al la entjera dispartigo

de la entjero n estas egala al

Ĉi tiuj koeficientoj ankaŭ aperas en la sonorilaj polinomoj.

Formala potencoseria versio[redakti | redakti fonton]

En la formala potencoserio

oni havas la n-an derivaĵon je 0

Ĉi tiu devus ne esti komprenata kiel la valoro de funkcio, ĉar ĉi tiu serio estas pure formala; ne estas koncernata ĝia konverĝo aŭ malkonverĝo en ĉi tiu ĉirkaŭteksto.

Se

kaj

kaj

do la koeficiento cn (kiu devus esti la n-a derivaĵo de h komputita je 0 se ne konsideri konverĝecon de la serio) estas donita per

kie π ruliĝas tra la aro de ĉiuj dispartigoj de la aro {1, ..., n} kaj B1, ..., Bk estas la blokoj de la dispartigo π, kaj | Bj | estas kvanto de membroj en la j-a bloko, por j = 1, ..., k.

Ĉi tiu versio de la formulo estas aparte bone konvena por celoj de kombinatoriko.

Eblas ankaŭ skribi ke

kie la esprimoj

estas sonorilaj polinomoj.

Eksponenta okazo[redakti | redakti fonton]

Se f(x) = ex tiam ĉiuj derivaĵoj de f estas la samaj, kaj estas faktoro komuna al ĉiu termo. En okazo se g(x) estas duoninvarianto-generanta funkcio, do f(g(x)) estas momanto-generanta funkcio, kaj la polinomo en diversaj derivaĵoj de g estas la polinomo kiu ekspresas la momantojn kiel funkcioj de la duoninvariantoj.

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]