Formuloj de Viète

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En matematiko, formuloj de Viète estas formuloj kiuj ligas koeficientoj de polinomo kun ĝiaj radikoj. La formuloj estas faritaj de François Viète.

Estu polinomo

x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + ... + a_n,\,\!

kun radikoj \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}, ĉiu radiko estas listigata en kvanto egala al ĝia obleco.

Tiam la koeficientoj a_1, \ldots, a_n estas simetriaj funkcioj de la radikoj:

 a_1 = -(\alpha_1 + \alpha_2 + \ldots + \alpha_n)
 a_2 = \alpha_1 \alpha_2 + \alpha_1 \alpha_3 + \ldots + \alpha_1 \alpha_n + \alpha_2 \alpha_3 + \ldots + \alpha_{n-1} \alpha_n
 a_3 = -(\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 + \alpha_1 \alpha_2 \alpha_4 + \ldots + \alpha_{n-2} \alpha_{n-1} \alpha_{n})
...
 a_{n-1} = (-1)^{n-1} (\alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_{n-1} + \alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_{n-2} \alpha_n + \ldots + \alpha_2 \alpha_3...\alpha_n)
 a_n = (-1)^n \alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_n

Alivorte, (-1)^ka_k egalas al sumo de ĉiuj eblaj produtoj de k radikoj (estas prenataj nur radikoj kun diversaj indeksoj).

El la formuloj sekvas ke se ĉiuj radikoj estas entjeroj do ĉiuj koeficientoj estas entjeroj, kaj a_n dividiĝas per ĉiu el la radikoj.

Se la koeficiento a_0 \ne 1, do por uzo de la formulo necesas dividi la tutan polinomon je a_0, tiam la radikoj ne ŝanĝiĝas.


Por kvadrata ekvacio

ax2+bx+c=0

kun radikoj r1 kaj r2

 r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}
 r_1 \cdot r_2 = \frac{c}{a}

Pruvo[redakti | redakti fonton]

La formuloj povas esti pruvitaj per konsidero de egaleco

x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + ... + a_n = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots (x-\alpha_n)

kie la dekstra flanko estas la faktorigita formo de la polinomo.

Post multipliko de eroj de la dekstra flanko, koeficientoj ĉe egalaj potencoj de x devas esti egalaj, el kio sekvas la formuloj de Viète.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]