Funkcio de Euler

Normo de phi sur la kompleksa ebeno, kolorita tiel ke nigra=0, ruĝa=4

En matematiko, la funkcio de Euler definiĝas jene

$\phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})$$\phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})$

Nomita laŭ Leonhard Euler, ĝi estas prototipa ekzemplo de q-serio, modjula formo, kaj provizas la prototipan ekzemplon de rilato inter kombinatoriko and kompleksa analitiko.

Propraĵoj

La koeficiento $p(k)$$p(k)$ en la Maclaurin-a serio por $1/\phi (q)$$1/\phi (q)$ estas la nombro de ĉiuj entjeraj partigoj de k. Tiel,

${\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}$${\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}$

kie $p(k)$$p(k)$ estas la partiga funkcio de k.

La identaĵo de Euler (kvinangula nombra teoremo) estas

$\phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2}$$\phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2}$

Rimarku ke $(3n^{2}-n)/2$$(3n^{2}-n)/2$ estas kvinangula nombro.

La funkcio de Euler rilatas al la funkcio eta de Dedekind per identaĵo de Ramanujan jene

$\phi (q)=q^{-1/24}\eta (\tau )$$\phi (q)=q^{-1/24}\eta (\tau )$

kie $q=e^{2\pi i\tau }$$q=e^{2\pi i\tau }$ estas la kvadrato de la nomeno.

Rimarku ke ambaū funkcioj havas la simetrion de la modjula grupo.

Referencoj

• Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9