Geometrio

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
La Géometrie de René Descartes (1637).
Skulptaĵo reprezentanta Eŭklidon, Oxford University Museum.
Arkimedo, pentraĵo de Domenico Fetti (1620).

Geometrio (de la grekaj γης, "tero", kaj μετρoς, "mezuro") estas branĉo de matematiko kiu studas spacajn rilatojn (ekz. reciproka situo), formojn (ekz. geometriaj korpoj), grandojn kaj relativan situon de figuroj, kaj ilian ĝeneraligon. Naskiĝo de geometrio koncernas al tempoj de antikveco kaj estas kaŭzita pro la praktikaj bezonoj mezuri terpecojn, volumenon ktp. Geometro estas specialisto pri geometrio,[1] nome fakulo pri geometrio, matematikisto kiu laboras en la kampo de geometrio.

Geometrio stariĝis sendepende en nombraj fruaj kulturoj kiel korpuso de praktika sciaro koncerne al longoj, areoj, kaj volumenoj, kun elementoj de formala matematika scienco aperanta en Okcidento tiom frue kiom ĝis Taleso de Mileto (6a jarcento a.K.). Poste la strikta konstruo de geometrio, kiel sistemo de asertoj (teoremo), konsekvence sinsekvaj el nemultaj difinoj de ĉefaj nocioj kaj veraĵoj, akceptitaj sen pruvo (aksiomo), estis donita en antikva Grekio. Tia traktado de geometrio en la “Komencoj” de Eŭklido (ĉ. 300 a.K.), dum preskaŭ 2 mil jaroj servis kiel modelo por aksioma metodo kaj baza konstruo de t.n. "Eŭklida geometrio" sekvota dum multaj jarcentoj.[2] Arkimedo disvolvigis ingeniajn teknikojn por la kalkulado de areoj kaj volumenoj, en multaj manieroj pionire de la moderna integrala kalkulo. La fako astronomio, ĉefe ĉar ĝi rilatas al mapado kaj al la situoj de steloj kaj planedoj en la ĉielosfero kaj al priskribado de rilatoj inter movoj de ĉielaj korpoj, utilis kiel grava fonto de geometriaj problemoj dum la venontaj unu kaj duona jarmiloj. En la klasika mondo, kaj geometrio kaj astronomio esris konsiderataj parto de Quadrivium, subfako de la sep Sep liberaj artoj konsideritaj esencaj por ke libera civitano mastru.

La reviviĝo de la scienco kaj arto en Eŭropo stimulis evoluon de geometrio, kies teoria bazo estis Projekta Geometrio. Kartezio (Rene Descartes) proponis metodon de koordinatoj, kiu permesis interligi geometrion kun algebro kaj matematika analizo, rezultanta naskon de analiza geometrio kaj diferenciala geometrio. De tiam geometriaj figuroj kiaj ebenaj kurboj estos reprezentataj analize en la formo de funkcioj kaj ekvacioj, Tio ludis ŝlosilan rolon en la apero de la infinitezima kalkulo en la 17a jarcento. Krome, la teorio de perspektivoj montris, ke estas pli al geometrio ol ĝuste la mezuraj propraĵoj de figuroj: perspektivo estas la origino de projekcia geometrio. La subjekto de geometrio estis plue pliriĉigita per la studo de la esenca strukturo de geometriaj objektoj kiuj originiĝis ĉe Euler kaj Gauss kaj kondukis al la kreado de la topologio kaj de la diferenciala geometrio.

En la epoko de Eŭklido, ne estis klara distingo inter fizika kaj geometria spacoj. Ekde la 19a-jarcenta malkovro de ne-Eŭklida geometrio, la koncepto de spaco suferis radikalan transformadon kaj levigis la demandon pri kiu geometria spaco ple bone kongrus kun fizika spaco. En 1826 N. Lobaĉevskij konstruis hiperbolan geometrion, diferencantan de la eŭklida geometrio per la aksiomo pri paraleloj. En la mezo de 19-a jarcento estis esploritaj multmezuraj spacoj. Vasta fako de geometrio estis fondita en la verkoj de B. Riemann. La ĝeneraligo de la ĉefobjekto de geometrio - spaco, ebligis ĝian fruktodonan uzadon ne nur en matematikaj sciencoj, sed ankaŭ en fiziko, mekaniko k.a.

Kun la apero de la formala matematiko en la 20a jarcento, 'spaco' (ĉu 'punkto', 'linio', aŭ 'surfaco') perds sian intuiciajn enhavojn, kaj tiele nuntempe oni devas distingi inter fizika spaco, geometriaj spacoj (en kiuj 'spaco', 'punkto' ktp., kiuj ankoraŭ havas sian intuiciajn signifojn) kaj abstraktaj spacoj. Nuntempa geometrio konsideras sternaĵojn, nom spacojn kiuj estas konsiderinde pli abstraktaj ol la familiara Eŭklida spaco, al kiu ili nur proksimume similas je malgrandaj skaloj. Tiuj spacoj povas esti dotitaj per aldona strukturo kiu permesas onin paroli pri longo. Moderna geometrio havas multaj ligojn al fiziko kiel estas ekzempligita de la ligoj intee la pseŭdo-Riemannian-a geometrio kaj la ĝenerala teorio de relativeco. Unu el la plej novaj fizikaj teorioj, nome la Kordoteorio, estas ankaŭ tre geometrieca.

Dum la vida naturo de geometrio faras ĝin dekomence pli alirebla ol aliaj matematikaj areoj kiaj algebro aŭ Nombroteorio, geometria lingvaĵo estas uzata ankaŭ en kuntekstoj tre foraj el sia tradicia eŭklida deveno (por ekzemplo, ĉe fraktala geometrio kaj ĉe algebra geometrio).[3]

Ĉefaj branĉoj de geometrio[redakti | redakti fonton]

Topologio[redakti | redakti fonton]

Analiza geometrio[redakti | redakti fonton]

Analiza geometrio estas la fako de geometrio, en kiu proprecoj de geometriaj figuroj (punkto, linio, surfaco) determiniĝas per rimedoj de algebro helpe de metodo de koordinatoj, t.e. per studo de proprecoj de ekvacioj, kies grafikoj estas la menciitaj figuroj. En analiza geometrio oni ekzamenas liniojn (surfacojn) de 1-a kaj 2-a gradoj. Linioj (surfacoj) de 1-a grado estas rektoj (ebenoj), inter linioj (surfacoj) de 2-a grado - elipsoj, hiperboloj, paraboloj (elipsoidoj, hiperboloidoj, paraboloidoj). Analizan geometrion unue pristudis Kartezio en 1-a duono de 17-a jarcento.

Diferenciala geometrio[redakti | redakti fonton]

Teorio de relativeco de Alberto Ejnŝtejno  E=mc^2

Diferenciala geometrio estas la fako de geometrio, en kiu geometriaj figuroj determiniĝas surbaze de metodo de koordinatoj per la rimedoj de diferenciala kalkulo. La origina objekto de diferenciala geometrio estis pristudo de geometriaj figuroj de ordinara 3-dimensia spaco (linio, surfaco). De la 2-a duono de 19-a jarcento, la kadroj de diferenciala geometrio grave plivastiĝis, inkludante ankaŭ esploron de multdimensia spaco. Diferenciala geometrio estas grava instrumento por esploroj en mekaniko, teorio de relativeco, k.a.

Desegna geometrio[redakti | redakti fonton]

Desegna geometrio estas la fako de geometrio, en kiu geometriaj figuroj determiniĝas per konstruo de iliaj bildoj sur projekciaj ebenoj. Kelkaj ideoj de desegna geometrio estis prilaboritaj en 16a-17a jarcentoj, sed kiel sendependa scienco ĝi formiĝis nur ĉe la fino de 18-a jarcento pere de Gaspard Monge kaj pro la kreskantaj praktikaj bezonoj de inĝenierarto.

Planimetrio[redakti | redakti fonton]

Projekcio de kubo en 2 dimensioj; kubo estas unu el plej konataj kaj facilaj korpoj studitaj en geometrio.

Planimetrio (de la latina Planum, "ebeno") estas la fako de elementa geometrio, kiu pristudas proprecojn de figuroj, kuŝantaj en surfaco.

Stereometrio[redakti | redakti fonton]

Stereometrio estas la fako de elementa geometrio, kiu pristudas proprecojn de figuroj en spaco.

Sfera geometrio[redakti | redakti fonton]

Sfera geometrio estas la fako de matematiko, kiu esploras figurojn sur sfero. Evoluo de ĉi tiu branĉo en antikveco estis ligita kun la problemoj de sfera astronomio.

Klasikaj problemoj[redakti | redakti fonton]

Jen kelkaj el la klasikaj geometriaj problemoj:

  1. Kiel duobligi kubon?
  2. Kiel trionigi angulon?
  3. Kiel krei kvadraton kiu havas la saman surfacon kiel difinita cirklo?

Pli precize, en ĉiuj tri problemoj, la tasko estas establi geometrian konstrumanieron (ekz. por trionigi ajnan donitan angulon), uzante sole cirkelon kaj liniilon. Pri ĉiuj tri problemoj okupiĝis jam la grekoj antaŭ pli ol dumil jaroj. Per la teorio de Galois pri aŭtomorfismoj de korpoj oni montras facile ke 1. kaj 2. ne allasas ĝeneralan solvon. Ankaŭ la 3-a problemo ne estas solvebla; por pruvi tion, oni bezonas aldone la teoremon de Lindemann pri la transcendeco de la nombro pi.

Geometriaj elementoj[redakti | redakti fonton]

Neregula seslatera piramido.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Notoj[redakti | redakti fonton]

  1. PIV
  2. Martin J. Turner,Jonathan M. Blackledge, Patrick R. Andrews (1998). Fractal geometry in digital imaging. Academic Press. p. 1. ISBN 0-12-703970-8
  3. Estas tre ofta ĉe algebra geometrio paroli pri geometrio de algebra varieco super finitaj kampoj, eble singulare. El naiva perspektivo, tiuj objektoj estas ĝuste finitaj serioj de punktoj, sed laŭ pova geometria imagaro kaj uzante bone disvolvigitajn geometriajn teknikojn, eblas trovi strukturon kaj statigi propraĵojn kiuj faras ilin iome analogaj al la ordinaraj sferojkonusoj.

Bibliografio[redakti | redakti fonton]

  • (1991) A History of Mathematics, Second edition, revised by Uta C. Merzbach, New York: Wiley. ISBN 0-471-54397-7. 
  • Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, tradukisto kaj eldonisto: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.
  • Jay Kappraff, A Participatory Approach to Modern Geometry, 2014, World Scientific Publishing, ISBN 978-981-4556-70-5.
  • Leonard Mlodinow, Euclid's Window – The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace, UK edn. Allen Lane, 1992.

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]

  • En tiu ĉi artikolo estas uzita traduko de teksto el la artikolo Geometry en la angla Vikipedio.