Hotelo de Hilbert

La senfina Hotelo de Hilbert estas abstrakta konstruo elpensita de la germana matematikisto David Hilbert. Tiu ĉi paradoksaĵo klarigas, simple kaj intuicie la paradoksojn rilatajn al la matematika koncepto pri senfineco (plej ekzakte pri la transfinaj numeroj enkondukitaj de la matematikisto Georg Cantor).

Ĉiuj paradoksaĵoj de Hilbert priskribas pere de hotelo el senfinaj ĉambroj, kvar paradoksojn el la eltrovitaj de Georg Cantor. Multaj personoj kreis kompletajn historiojn pri la metaforo de David Hilbert.

La plej granda hotelo en la mondo

Du renomaj hotelistoj volis konstrui la plej grandan hotelon de la mondo, renkontiĝis por pritrakti la aferon kaj komencis per la unua kaj plej evidenta temo: kiom da ĉambroj ĝi havus.

	„ —Kion vi pensas se ni konstruas milĉambran hotelon? —Ne, ĉar se iu konstruus dumilĉambran hotelon, nia hotelo ne plu estus tiel granda. Pli bone ni faru ĝin el dek mil ĉambroj. —Sed povus esti ke iu konstruus dudekmilĉambran hotelon kaj denove ni restus kun malgranda hotelo. Ni konstruu hotelon el miliono da ĉambroj, tiu ja estus granda hotelo. —Kaj se ni konstruus unu el... ”

Kiel kutime, povus aperi pli granda hotelo, ili alvenis al la konkludo pri la bezono konstrui hotelon kun senfinaj ĉambroj por ke neniu alia hotelo superu ĝin.

Senfineco plus unu

Tamen, en hotelo el senfina nombro de ĉambroj ne ĉio rozkoloras. Tuj aperinte siajn pordojn la klientoj ekplenigis ĝin kaj baldaŭ la senfinaj ĉambroj estis okupataj de gastoj, kio estis grava nekonvenaĵo. En tiu ĉi momento estiĝis la unua paradokso, tiel ili decidis ke la gastoj ĉiam havus disponeblan ĉambron kun la antaŭa konsento ke la gastoj ĉiam povus ŝanĝi sian ĉambron ĉiam kiam tio estus petata.

Tiam do alvenis homo al la hotelo sed ĝi estis jam plena, sed tio ĉi ne timigis la klienton ĉar la senfina hotelo asertis ke ĉiuj havus ĉambron. La homo mendis sian ĉambron kaj la akceptisto, konscia pri la manko de problemo, prenis la laŭtparolilon per kiu sciigis al ĉiuj siaj gastoj por ke ili reviziu la numeron de la ĉambro, ili aldonu unu kaj ili translokiĝos al la ĉambro kun tiu numero, tiel la nova gasto povis trankvile dormi en la ĉambro numero 1. Sed, kio okazis al la gasto de la lasta ĉambro? Simple, ne estas lasta ĉambro.

Du infinitoj

Estante plena de senfinaj gastoj la hotelo, venis reprezentanto de vojaĝagentejo, li venis kun grupo de senfinaj turistoj kiuj bezonis tranokti en tiu hotelo tiunokte. Temis do, pri lokigo de senfinaj gastoj en hotelo kun senfinaj ĉambroj, ĉiuj okupataj tiumomente. Sed la akceptisto havis neniun problemon akceptinte la ĵusalvenintajn turistojn. Li prenis la laŭtparolilon kaj petis al la gastoj translokiĝi al la ĉambro apartenanta al la rezulto de la multobligado per du de la numero de la ĉambro kie ili estis. Tiel ĉiuj gastoj translokiĝis al para ĉambro, kaj ĉiuj neparaj ĉambroj liberiĝis. Ĉar estas senfinaj neparaj numeroj, la senfinaj turistoj povis senprobleme tranokti.

Senfina numero de infinitoj

Estante plena la hotelo kun senfinaj gastoj, venis alia reprezentanto de vojaĝagentejo multe pli timoplena ol la unua kaj sciigis al la unua la grandan okazintan problemon, nun la agentejo havis senfinan nombron de ekskursantoj kun senfina nombro de turistoj ĉiu el ili. "Kia granda problemo estiĝas nun!", pensis tiel la reprezentantoj de la vojaĝagentejoj, kiel oni povus gastigi senfinan nombron de senfinaj turistoj?

La akceptisto restis senemocia, trankvile prenis la laŭtparolilon kaj nur komunikiĝis kun la ĉambroj kies numero estis prima aŭ unu el la potencoj el ĉiuj ĉi ($p^{n}$), petis al ili levi la numeron 2 al la numero de la ĉambro kie ili troviĝis ($2^{p^{n}}$) kaj translokiĝus al tiu ĉambro rezultinta.

Tiel li asignis al ĉiu el la ekskursantoj priman nombron (malsame de 2), al ĉiu el la turistoj de unu el la ekskuroj neparan nombron (t), tiel ke la ĉambro de ĉiu turisto kalkuliĝus nur prenante la priman nombron de ilia ekskurso (p) kaj levi ĝin al la nombro kiun ili ricevis ene de la ekskurso (t) kies rezulto estas $p^{t}$.

Ekzistante senfineco de primaj nombroj kaj de neparaj nombroj, eblis facile gastigi senfinan nombron de senfinaj turistoj en la hotelo kiu nur havas senfinan numeron de ĉambroj.